상태 1에서 시작하여 매번 독립적인 공정한 동전으로 정수 상태를 1칸 올리거나 1칸 내려요. 0에 도착하면 멈추며 위쪽 제한은 없어요. “끝날 확률이 1이면 평균 단계 수도 유한하다”는 판단을 검토해 볼까요? T는 0까지 시간, τ_M은 같은 이동 기록을 0 또는 M(M≥2)에서 먼저 멈춘 시간이에요.
먼저 0과 M의 유한 모형을 봐요. 내부에서 M 단계 안에 모두 아래로 움직여 0에 닿을 확률이 적어도 2⁻ᴹ라 종료 확률 1과 유한 평균이 보장돼요. M에 먼저 닿을 확률 b_i는 이웃 두 값의 평균이므로 경계 b₀=0, b_M=1에서 b_i=i/M입니다. 기대 시간 u_i도 첫 단계로 나누면 u_i=1+(u_{i−1}+u_{i+1})/2, u₀=u_M=0입니다. 직접 대입한 u_i=i(M−i)가 이 식을 만족하며 두 해의 차는 양 경계 0인 일차식이어서 해는 유일해요.
무제한 과정이 언젠가 0에 닿을 확률은 모든 M에 대해 1−1/M 이상이에요. M을 얼마든지 크게 잡을 수 있으므로 그 확률은 1입니다. 반면 T≥τ_M이므로 E(T)≥M−1이 모든 M에 성립해요. 유한한 한 수가 이런 임의 하한을 만족할 수 없어 E(T)=∞입니다.
원문은 두 경계의 확률과 위쪽 경계 없는 종료 시간 생성함수를 분리해요. 이 글은 실제 금전 게임을 권하지 않고 자체 정수 이동에서 유한 경계로 잘라 직접 증명해요. 거의 모든 기록이 유한하게 끝나더라도 그 길이들의 평균이 유한한 것은 아니에요.
수많은 짧은 모의실험의 평균을 무제한 과정의 참 평균으로 읽지 않도록 구별해 봐요. 컴퓨터에서 최대 단계 수를 강제로 정하면 종료 규칙을 바꿔요. 유한 상태의 대기 계산을 위쪽 제한 없는 상태 공간으로 옮길 때 그 가정이 사라져요.
착안 원문: Grinstead and Snell, Introduction to Probability: sections 11.2 and 12.2. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.