규모 7,1,1인 세 집단에 같은 자리 H개를 배분해요. 각 집단은 최소 1개를 받고, 실제 정수몫 a_i는 이상적 비례몫 q_i의 바로 아래·위 정수 사이에 있어야 해요. H≥3인 정수 중 이 세 조건을 함께 만족하는 가장 작은 H를 구해 볼까요? 양의 규모가 n개인 일반 경우의 존재 조건도 증명해 볼까요?
H는 양의 정수예요. ⌊q⌋는 q 이하의 가장 큰 정수, ⌈q⌉는 q 이상의 가장 작은 정수예요.
자리 수가 세 집단보다 적지만 않으면 될 것 같지만, 큰 집단의 아래쪽 몫과 두 작은 집단의 최소몫이 충돌할 수 있어요.
| H | 이상적 몫 q | 각 집단의 최소 허용몫 L | L의 합 | 판정 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 7/3,1/3,1/3 | 2,1,1 | 4 | 불가 |
| 4 | 28/9,4/9,4/9 | 3,1,1 | 5 | 불가 |
| 5 | 35/9,5/9,5/9 | 3,1,1 | 5 | 3,1,1로 가능 |
따라서 가장 작은 H는 5입니다. 앞 두 경우는 배분 알고리즘을 바꾸어도 해결되지 않아요. 어느 허용몫도 각각의 하한보다 작게 줄 수 없기 때문이에요.
일반적으로 L_i=max(1,⌊q_i⌋), U_i=⌈q_i⌉라 놓아요. p_i>0,H>0에서 q_i>0이므로 L_i≤U_i입니다. 또한 ΣU_i≥Σq_i=H입니다. ΣL_i≤H가 필요하며 충분하기도 해요.
충분성은 먼저 모든 a_i=L_i로 시작해 증명해요. 합이 H보다 작을 때에는 ΣU_i≥H이므로 아직 a_i<U_i인 칸이 적어도 하나 있어요. 그 칸에 1개씩 더하면 정수 H에서 멈추며 어느 상한도 넘지 않아요. 이는 특정 우선순위 규칙의 최적성이나 공정성을 증명한 것이 아니라 주어진 조건들의 양립성 검사예요.
Young의 정수 배분 총량·비례몫 정의와 최소 한 자리 조건을 실제 읽었어요. 위 floor/ceil 범위까지 함께 요구하는 세 조건은 이 글에서 만든 교실 사양이며 현행 의석 정책이 항상 이 사양을 채택한다는 뜻이 아니에요. 표의 7,1,1은 실제 인구통계가 아니에요.
배분 방법을 고르기 전에 요구 조건에 해가 있는지 확인해 봐요. 최소한 1개씩이라는 말만으로 충분한 총량이 결정되지 않아요. ΣL의 필요성을 보인 줄과 남은 자리를 상한 안에서 채울 수 있다는 충분성 증명을 따로 읽으면 존재와 공정성도 섞이지 않아요.
착안 원문: H. Peyton Young, Fairness in Apportionment (Census symposium draft, January2004), PDF4–7 formal definition. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.