A와 B의 가중치는2와1이며 한 개만 뽑아요. 서로 독립인(0,1)균등난수 U_A,U_B를 사용해요. 다음 두 규칙 중 A의 목표 선택확률2/3을 만족하는 것은 어느 쪽인가? 연속난수이므로 동점확률은0입니다.
규칙Ⅰ에서 U_A=u가 정해지면 A가 이길 조건은 U_B>u/2입니다. 단위 정사각형에서 그 영역의 면적은∫₀¹(1−u/2)du=3/4입니다. 가중치가 큰 A를 더 자주 고르기는 하지만2:1의 목표 비를 만들지는 못해요. 규칙Ⅱ에서 U_B=u가 정해지면 A의 조건은 U_A>u²이므로 다음 면적을 얻어요.
양의 가중치 w_A,w_B라면 키 U_A^(1/w_A),U_B^(1/w_B)의 비교에서 A가 이길 조건은 U_A>U_B^(w_A/w_B)입니다. 따라서 승률은1−1/(1+w_A/w_B)=w_A/(w_A+w_B)입니다. 두 난수를 하나의 공유 U로 바꾸면 지금 가중치에서는√U>U라 A가 항상 이겨요. 독립 조건도 키의 형태만큼 필요해요.
Efraimidis의 원문 A-ES와 Remark1은 독립 균등난수를 거듭제곱한 키를 사용해요. 현재는 그 정의와 별도의 잘못된 나눗셈 규칙을 나란히 주고 선택영역을 직접 비교했어요. 여러 개의 비복원 표본에서 최종 포함확률까지 그대로 가중치에 비례한다고 주장하지 않아요.
교사는 “가중치가 클수록 유리하다”와 “선택확률이 가중치에 정확히 비례한다”를 구별하게 해요. 단조롭게 유리하다는 말은 목표 분포의 증명이 아니에요. 두 난수의 범위·독립성·큰 값을 택하는지 작은 값을 택하는지부터 답안에 표시하게 해요.
착안 원문: Pavlos S. Efraimidis, Weighted Random Sampling over Data Streams (arXiv v2, 2015). 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.