구면의 반지름은 R입니다. A,B는 둘 다 북위 45도이고 경도는 0도와 180도예요. 둘 사이를 동쪽으로 같은 위도 45도를 유지해 가는 항로와, A에서 북극 N을 지나 B로 가는 짧은 대권호를 비교해 볼까요? 메르카토르에서 같은 위도는 수평 직선이 돼요. 지도에서 곧게 보인다는 이유만으로 첫 항로가 최단이라고 할 수 있을까요? 모든 이동은 구면 표면 위예요.
위도 45도의 원은 반지름 Rcos45°=R/√2이고 경도 180도를 이동하므로 그 원의 반 바퀴 길이는 πR/√2입니다. 반면 북극까지는 두 점에서 각각 중심각 45도라 두 호의 합이 πR/2입니다. A,N,B가 구의 중심을 지나는 같은 평면의 대권 위에 있고 A,B의 중심각은 90도이므로 이 짧은 호가 구면 최단거리예요.
메르카토르에서 두 점의 y좌표는 R ln tan(3π/8)로 같아 첫 항로는 수평 직선이에요. 지도 가로 길이 πR는 실제 위도원 길이 πR/√2와도 달라요. 일정한 방위로 가는 경로를 직선으로 보이는 성질은 구면 위 최단 경로를 직선으로 보이는 성질과 달라요. 북극은 이 지도에서 유한 좌표가 아니므로 북극 경유 경로를 지도 위의 유한한 한 선분으로 그려 비교하면 안 돼요.
USGS 원문은 메르카토르의 일정 방위선과 대권 경로를 구별해요. 이 두 구면 항로는 그 차이를 길이로 검산하기 위한 자체 배치예요. 실제 운항에는 지형·빙하·기상·항행 조건이 있지만 그런 자료를 쓴 실제 항로 추천은 아니에요.
어느 지도에서 어떤 선이 직선인지와 어느 표면에서 무엇이 최단인지를 따로 적어 봐요. 구면의 중심을 통과하는 대권과 위도 45도의 작은 원을 같은 원으로 취급하지 않는 것이 계산의 첫 조건이에요.
착안 원문: John P. Snyder, Map projections—A working manual (USGS Professional Paper 1395, 1987). 일정한 방위의 경로가 지도 직선으로 표현된다는 원문 설명에서 착안해, 같은 위도 항로와 북극 경유 대권호의 길이를 자체 구면 배치에서 비교했어요.