한 비트를 세 번 보내고 다수결로 복원해요. I_i=1은 i번째 전송이 원래 비트를 뒤집었다는 뜻이고 세 주변 확률은 각각 1/4입니다. 전송 사이의 독립성은 주어지지 않았어요. 허용되는 모든 공동분포에서 다수결 오류 확률의 최댓값을 구해 볼까요? 실제 그 값을 만드는 분포를 제시하고 독립일 때와 비교해요. 원래 비트의 값은 고정하며 무응답/다른 기호 오류는 없어요.
X=I₁+I₂+I₃이라 두면 E(X)=3/4입니다. 모든 결과에서 다수결 오류 지시값은 X/2 이하이므로 오류 확률은 3/8 이하예요. 독립 여부 없이 얻은 상한이에요.
상한을 달성하는 공동분포는 110, 101, 011을 각각 1/8, 000을 5/8 확률로 고르는 법이에요. 각 위치가 1인 두 기록의 합은 1/4이고 오류 사건의 합은 3/8입니다. 따라서 최댓값은 3/8로, 한 번만 보내는 1/4보다 클 수 있어요. 반면 독립이면 정확히 둘이 뒤집힐 확률 3(1/4)²(3/4)에 셋이 뒤집힐 확률 (1/4)³을 더해 5/32로 줄어들어요. 같은 주변 오류율을 가졌다는 사실만으로 반복의 개선을 보장하지 않아요. 일반적으로 0<q≤2/3이면 위 상한은 3q/2이고 세 쌍 기록 각각 q/2, 000은 1−3q/2로 같은 방식으로 달성돼요.
실제 강의의 반복 전송 예는 독립 잡음 조건 아래 개선을 계산해요. 이 글은 그 조건을 빼고 단지 같은 주변 오류율만 남겼을 때 가능한 최악값을 자체 공동분포로 직접 증명해요. 실제 장치의 오류 기록이나 성능 시험이 아니에요.
교사는 반례 하나로 끝내지 않고 더 큰 오류율이 가능한지 묻게 해요. 모든 허용 분포를 덮는 상한과 그 상한을 실제 달성하는 분포를 따로 확인해요. 세 결과를 같은 확률로 세거나 독립 곱셈을 먼저 쓰면 원문에서 뺀 조건을 다시 몰래 넣게 돼요.
착안 원문: Stanford EE376A, Lecture2: Binary Sources, Lossy Compression and Channel Capacity (11 January2018). 주변 오류율만 고정한 공동분포의 상한과 달성 분포를 자체 구성했으며, 원문의 독립 전송 조건이나 실제 장치의 측정값을 옮긴 것이 아니에요.