마지막 잔액이 맞아도, 지급 도중 돈이 모자랄 수 있을까요? 세 봉투 A·B·C에 가상 금액 a·b·c를 적어요. 모두 0 이상의 실수이며 분수 단위도 허용해요.
지급은 P: A에서 B로3, Q: B에서 A로1, R: A에서 C로3, S: C에서 A로1입니다. 네 지급을 각각 한 번씩, 순서는 자유롭게 실행해요. 지급자는 그 순간 전액을 가지고 있어야 해요. 받은 돈은 다시 쓰지만 빌리거나 보태지 못하며, 지급을 쪼개지도 못해요. 시작 총량의 최소와 모든 최소 배치를 구해 볼까요?
끝 잔액은 (a−4,b+2,c+2)라서 a≥4가 필요해요. 하지만 (4,0,0)은 막혀요. A가3을 보내고1을 돌려받아도2뿐이라 다른3을 보낼 수 없어요.
a≥5이면 P→Q→R→S로 끝내요. 4≤a<5에서 b,c가 둘 다1보다 작으면 처음에는 A만 지급할 수 있어요. 첫3 뒤 돌아오는1을 더해도 a−2<3이며, 다른 봉투는 아직1이 없어 끝낼 수 없어요.
반대로 a≥4에서 b≥1이면 Q→R→S→P, c≥1이면 S→P→Q→R가 돼요. 조건제시법으로 모든 가능한 배치의 집합 F를 쓰면
이 조건에서 총량은5 이상이에요. a≥5인 쪽의 등호는 (5,0,0)뿐이에요. 나머지 쪽은 a≥4와 b≥1 또는 c≥1이므로 등호를 만드는 배치는 다음 둘뿐이에요.
총량5인 (4.5,0.5,0)도 막혀요. 최종 순액만 보는 장부에서는 (4,0,0)이 허용돼요. 중간에 전액을 지급해야 한다는 조건과 따로 비교해 봐요. 실제 결제 제도나 금융 조언은 아니에요.
착안: 영국은행 LSM 2021 §1. 지급·수치·모형과 증명은 자체 구성이에요.