자체 방향 모형이에요. U=cos i를 (0,1)에서 균등하게 고르고 i는 0~π/2 사이예요. 시선 방향 투영에서 빠진 기울기를 보정하는 배율 C=1/sin i로 둬요. C가 2보다 클 확률과 평균을 구해 볼까요? 평균이 존재하면 분산도 유한할까요? 특정 행성의 고정 최소질량 관측 후 기울기 사후분포가 이 모형이라는 주장은 하지 않아요.
C>2는 U>√3/2와 같으므로 확률은 1−√3/2입니다. 평균 적분에서 u=sinθ로 치환하면 du=cosθdθ와 양의 제곱근이 상쇄되어 유한해요.
둘째 적분은 0≤u<1에서 1/(1−u²)≥1/[2(1−u)]라 뒤쪽 로그 발산으로 무한이에요. 따라서 유한 평균 π/2가 있어도 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양)은 유한하지 않아요. 직접 분산 정의를 써도 u가 1에 충분히 가까우면 C≥π이고 (C−π/2)²≥C²/4라 적분이 발산해요. U=1이라는 한 점의 확률은 0이지만 그 점 주변에서 배율이 큰 범위의 누적 효과는 사라지지 않아요. C>2의 확률은 약 0.134로 실제 두 배 보정이 평균 π/2의 경계와 다른 사건이에요.
NEXSCI의 방향 설명에서 cos i 균등과 각 i 균등을 구별했고, EXOFAST 설명은 시선속도에서 Mp sin i를 최소질량으로 표시해요. 현재는 그 투영 보정에 착안한 명시 균등 U 모형이에요. 실제 검출 표본은 선택 효과나 질량 사전 조건을 가질 수 있어 관측 행성의 질량 사후평균이 언제나 π/2배라는 추론은 하지 않아요.
확률밀도 넓이 1, 배율의 평균, 배율 제곱의 평균을 각각 적분으로 확인해 봐요. 큰 배율이 생기는 구간의 확률이 작다는 말만으로 제곱평균까지 유한하다고 보지 않아요. 무한분산은 유한표본에서 계산한 표본분산이 무한이거나 측정기가 실제로 무한값을 출력했다는 뜻이 아니에요.
착안 원문: NASA Exoplanet Science Institute, 2020 Sagan Workshop Q&A: orbital orientations. 균등한 cos i에서 보정 배율의 확률과 두 모멘트를 계산한 자체 문항이며 실제 관측 행성의 질량 사후분포를 추정한 결과가 아니에요.