S에서 T로 가는 자체 흐름 모형이에요. 수요 d>0은 연속량이며 한 이용자는 전체 흐름을 바꾸지 않을 만큼 작다고 둬요. S→A와 B→T의 시간은 그 도로 흐름 x이고, A→T와 S→B의 시간은 항상 1입니다. A→B를 시간 0으로 추가해요. 이용되는 경로들은 시간이 같고, 쓰지 않는 경로는 그보다 짧지 않을 때 “균형”이라 해요. 지름길 전후의 균형 시간을 비교해 손해인 d 구간을 모두 구해 볼까요?
| 도로 | 시간 |
|---|---|
| S→A, B→T | 각 도로 흐름 x |
| A→T, S→B | 1 |
| 추가 A→B | 0 |
지름길이 없으면 두 바깥 경로에 d/2씩 흘러 시간이 1+d/2입니다. 추가 후 S→A→T, S→B→T, S→A→B→T의 흐름을 각각 a, b, z라 두면 a+b+z=d입니다. 시간은 1+a+z, 1+b+z, d+z입니다. 두 바깥 경로가 함께 쓰이면 a=b여야 해요. 한 바깥 경로만 양수인 상태는 다른 바깥 경로가 더 짧아 균형이 될 수 없어요.
d≤1에서는 전부 지름길 z=d인 상태의 시간 2d가 미사용 바깥 경로 1+d 이해요. 1<d<2에서는 세 경로 모두 쓰여 a=b=d−1, z=2−d가 되고 시간은 2입니다. d≥2에서는 z=0, a=b=d/2이며 미사용 지름길의 시간 d가 바깥 1+d/2 이상이에요.
따라서 지름길은 0<d<2/3에서 이득, d=2/3에서 같음, 2/3<d<2에서 손해, d≥2에서 변화가 없어요. 새 선택지가 모든 수요에서 나쁘다는 결론도, 짧은 도로이므로 언제나 개선된다는 결론도 이 모형에서는 틀려요.
Braess 원문의 경로 흐름 합산과 critical-flow 조건을 읽은 뒤, 자체 비용 x·1·0의 모든 양수 수요 구간을 나누었어요. 원문 단일 수요의 숫자를 바꾼 실험이나 실제 도로 개통 효과가 아니에요.
교사는 추가 도로가 있느냐만 묻기 전에 어떤 경로가 실제로 양수 흐름을 갖는지 분류하게 해요. 안 쓰는 길도 더 짧지 않은지 검사해야 경계 1과 2가 나와요. 마지막 비교에서는 균형이 바뀌는 경계 1과 이득·손해 경계 2/3을 혼동하지 않아요.
착안 원문: Dietrich Braess, Anna Nagurney and Tina Wakolbinger, On a Paradox of Traffic Planning (2005 translation of 1968 paper). 비용 x·1·0의 도로망과 수요 구간별 균형 계산은 자체 모형이며 실제 도로 개통의 효과나 관측 교통량을 보고한 것이 아니에요.