120을 나누어떨어지게 하는 양의 정수 중 다음 일곱 개를 찾았어요. 그 합은 정확히 120입니다. 따라서 120은 완전수라고 해도 되나요? 여기서 완전수는 자기 자신을 제외한 모든 양의 약수의 합이 자신과 같은 양의 정수예요. 또 p≥2인 정수에서 아래 두 목록이 N의 모든 진약수를 담는 조건을 구해 볼까요?
120의 약수 3도 자기 자신보다 작아요. 목록의 일곱 약수와 다르고 양수이므로 모든 진약수의 합은 이미 120보다 커져요. 실제 전체 진약수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60이고 합은 240입니다. 일부의 합이 같다고 전체의 합도 같아지는 것은 아니에요.
일반적으로 두 목록을 2⁰부터 2^(p−1)까지, 그리고 M·2⁰부터 M·2^(p−2)까지로 잡아요. M은 1보다 큰 홀수여서 두 목록은 중복이 없으며 모든 항은 N의 양의 진약수다. 등비수열 합으로 계산하면
합 조건은 p≥2에서 항상 성립해요. 그러나 M이 합성수이면 1<d<M인 약수 d가 있어요. d는 1보다 큰 홀수여서 첫 목록에 없고 M보다 작아 둘째 목록에도 없어요. d는 N의 진약수이므로 목록의 합 N에 양의 항이 더 남아요. 이 경우 N은 완전수가 아니에요.
반대로 M이 소수이면 N의 모든 약수는 2ʲ 또는 M·2ʲ 꼴이에요. 자기 자신인 M·2^(p−1)만 제외하면 정확히 두 목록만 남아요. 따라서 이 가족에서 N이 완전수인 것은 M이 소수일 때와 정확히 같아요. p=4의 M=15, N=120은 합 조건만 확인했을 때의 반례예요. p=3이면 M=7, N=28이고 두 목록 1, 2, 4와 7, 14가 진약수 전부여서 합 28입니다. 모든 완전수의 분류를 여기서 증명한 것은 아니에요.
유클리드 원론 IX.36의 현대 번역·해설은 먼저 두 약수 목록의 합을 구하고, 뒤에서 다른 진약수가 없다는 단계를 따로 증명해요. 그 긴 두 번째 단계가 필요한 이유를 소수 조건을 뺀 자체 가족과 120 반례로 확인했어요. 원본 그리스어 필사본을 직접 연구했거나 현재 최대 완전수 기록을 조사한 글은 아니에요.
교사는 합산이 정확하다는 답을 인정한 뒤 무엇을 모두 더했는지 물어요. 후보를 빠뜨리지 않았다는 증명과 후보들이 조건을 만족한다는 검사는 별개의 방향이에요. p가 소수인지가 아니라 M의 소수 조건이 약수 목록의 완전성을 맡고 있다는 점까지 구별해요.
착안 원문: Euclid, Elements IX.36 — David Joyce translation and guide at Clark University. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.