가상의 장치 수명 T에서 시간 t는 1시간을 단위로 한 수치예요. t까지 작동할 확률 R(t)를 아래처럼 정해요. 처음 장치 전체에서 1~2시간 사이에 고장 날 확률과 2~3시간 사이 확률을 비교해 볼까요? 각 구간 시작까지 작동한 장치만 골라 같은 질문을 하면 방향도 같을까요? 실제 장치 시험 결과가 아닌 자체 연속 확률 모형이에요.
원래 전체에서 구한 두 확률은 e⁻¹−e⁻⁴와 e⁻⁴−e⁻⁹입니다. 첫 번째가 더 커요. 밀도 f의 미분은 2e⁻ᵗ²(1−2t²)이므로 t≥1에서 f가 엄격히 감소하고, 같은 길이의 뒤 구간 아래 넓이가 더 작기 때문이에요. 이는 동일한 초기 장치 수에서의 기대 고장 건수도 더 작다는 뜻이에요.
그 구간 시작까지 작동한 조건을 붙이면 분모가 달라져요. 임의의 Δ>0에 대해
이 조건부 확률은 t가 커질수록 엄격히 증가해요. 따라서 2~3시간의 전체 고장 확률은 작아도, 2시간까지 남아 있던 한 장치가 다음 한 시간에 고장 날 확률은 더 커요. 처음의 모든 장치와 뒤에 남은 장치는 서로 다른 조건 집합이에요.
h(t)는 남아 있는 장치에 대한 단위 시간당 순간 고장률이에요. h(2)=4를 확률 4라고 읽거나 다음 한 시간의 확률과 바로 같다고 놓지 않아요. 정확한 한 시간 확률은 1−e⁻⁵로 1보다 작아요. 위 비교는 두 유한 구간의 확률을 직접 계산했으므로 순간률을 구간 확률로 근사한 결론도 아니에요.
NIST는 고장률을 수명 밀도 자체가 아닌 f/R로 정의하고, Weibull 모형에서는 두 양의 함수를 따로 제시해요. 여기서는 그 구분을 같은 길이의 두 구간과 조건부 확률의 반대 방향으로 확인했어요. 원문 표본 그래프나 실제 제품의 노후화를 검증한 자료로 설명하지 않아요.
교사는 두 비율의 분모에 처음 전체와 구간 시작까지 남은 장치를 각각 적게 해요. 줄어드는 전체 건수만으로 남은 장치가 더 안전해졌다고 결론 내렸는지를 볼 수 있어요. 밀도가 1보다 클 수 있다는 기존 질문에서 더 나아가, 같은 사건을 어느 조건 집합에서 계산했는지가 방향까지 바꾼다는 점을 검사해요.
착안 원문: NIST/SEMATECH 8.1.2.3 — Failure (or hazard) rate. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.