장치 4개의 수명을 서로 독립인 같은 지수 모형으로 가정해요. 시험 종료 시각은 미리 5시간으로 정했어요. 1시간과 3시간에 각각 한 장치가 고장 나고 나머지 둘은 5시간까지 정상이에요. 고장 난 두 수명 평균 2시간이 모형 평균의 추정값인가? 아래 자료 함수 L을 가장 크게 하는 λ>0와 그 모형 평균 1/λ를 구해 볼까요? C>0은 λ와 관계없는 상수예요.
정상 장치는 5시간에 고장 난 것이 아니에요. 따라서 밀도 f(5)를 곱하지 않고 5시간을 넘게 작동한 확률을 곱해요. 두 밀도와 두 확률을 정리하면 L=Cλ²e⁻¹⁴λ입니다. 14는 1+3+5+5라는 총 관측 장치·시간이며, λ의 제곱은 실제 고장 두 건에서만 생겨요.
로그는 엄격히 증가해서 같은 λ가 L도 최대로 만들어요. 도함수는 λ<1/7에서 양수, λ>1/7에서 음수이므로 이것이 유일한 전역 최대예요. 관측 실패만 평균한 2시간과, 정상 종료를 실패로 바꿔 모든 기록을 평균한 3.5시간은 모두 이 추정값과 달라요. 7시간은 정한 모형의 추정 평균이며 네 장치의 미관측 실제 수명을 알아낸 값이 아니에요.
만약 네 장치가 모두 5시간까지 정상이라면 L=C e⁻²⁰λ로 λ>0에서 계속 감소해요. 0에 가까워질수록 커지지만 양수 영역 안에 최댓값은 없어요. 계산식에 0건을 넣어 평균 수명을 무한대라고 확정하기 전에 추정값이 어느 영역에서 존재하는지부터 확인해야 해요. 이 짧은 시험으로 실제 평균이 무한대라고 증명한 것도 아니에요.
NIST의 최우추정 설명은 정확한 고장 시각에는 밀도, 정상 관측 종료에는 잔존 확률을 써요. 원문이 경고하는 작은 고장 건수의 불확실성을 숨기지 않고, 네 기록에서 자료 함수의 최대와 0건의 존재 경계를 자체 미분으로 검산했어요. 건강·보험·투자 판단을 위한 안내가 아닌 제품 시험의 수학 모형이에요.
곱을 만들 때 각 기록에서 실제로 아는 정보를 한 줄씩 적어 봐요. 정상 5시간 기록을 정확 수명 5로 바꾸면 λ 인자가 두 개 더 생겨요. 단순 평균의 분모와 모형 추정의 총 관측시간을 구별한 뒤, 답이 존재하지 않는 경계 사례도 같은 조건에서 점검해 봐요.
착안 원문: NIST/SEMATECH 8.4.1.2 — Maximum likelihood estimation. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.