길이가 다른 세 곧은 레일은 같은 점 O에서 시작해요. x는 수평 좌표, h는 O에서 아래로 내려간 높이이며 단위는 m입니다. 각 레일의 끝점은 아래 표와 같아요. 점입자는 정지 상태에서 동시에 출발하고, 마찰·회전·공기 저항은 없어요. 이 교육용 모형에서는 g=2 m/s²를 택해요. 레일 길이를 L이라 하면 레일 방향 가속도는 a=gh/L로 일정해요. 세 입자는 각각의 끝에 동시에 도착하나요? 같은 시간에 도착할 수 있는 끝점 전체도 구해 볼까요?
| 레일 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 끝점(x,h) | (0,4) | (2,2) | (√3,1) |
마지막 식에서 t²=2(x²+h²)/(gh)입니다. 세 레일의 길이는 4, 2√2, 2로 다르지만, 각각 L²/h=4이므로 도착 시간은 모두 2초예요. 레일의 가속도도 같은 것이 아니에요. 더 긴 레일에서는 같은 시간 동안 더 먼 거리를 가도록 레일 방향 가속도가 더 커요.
일반적인 g>0과 목표 시간 τ>0에서 같은 도착 시간의 필요충분조건을 좌표로 정리하자. 양수 L, h와 정지 출발이므로 위 시간식의 양변 변형은 역으로도 성립해요.
중심(0,K/2), 반지름 K/2인 원에서 시작점 O만 뺀 끝점들이 전부예요. h=0인 O는 길이 0인 퇴화 레일이므로 위 식을 유도하며 나눈 조건에 포함되지 않아요. 이 원 위의 서로 다른 끝점으로 내려가는 직선 레일들의 시간 비교예요. 원호를 따라 미끄러진다는 뜻도, 같은 장소에 충돌한다는 뜻도 아니에요.
같은 도착 시간이 같은 도착 속력을 뜻하지도 않아요. v=at에 위 시간식을 대입하면 v²=2gh입니다. 표의 세 도착 속력은 4, 2√2, 2 m/s로 달라요. 동일한 시간에서 속력까지 같으려면 높이 h도 같아야 하며, 그때의 원 위 끝점은 수평 좌표의 좌우 대칭 두 점 또는 세로 지름 끝점 한 점이에요.
갈릴레이의 Proposition VI와 두 번째 따름정리는 수직 원의 현과 같은 하강 시간을 연결해요. 여기서는 그 역사 증명을 좌표식으로 다시 읽고, 허용되는 끝점 전체·제외되는 시작점·도착 속력까지 자체 조건에서 검토했어요. 실제 장치의 시간을 측정한 결과나 원호 진자의 주기를 다룬 결과가 아니에요.
길이가 같아야 동시에 도착한다고 생각했다면 가속도까지 같다고 가정했는지 확인해 봐요. 원의 방정식을 얻은 뒤에는 h>0을 다시 붙여요. 끝점 세 개의 확인과 모든 가능한 끝점의 필요충분조건은 다른 수준의 답이므로 한 줄의 수치 계산으로 대신하지 않아요.
착안 원문: Galileo, Two New Sciences, Naturally Accelerated Motion, Proposition VI and corollaries (Crew–de Salvio translation hosted by University of Virginia). 좌표·수치·표·문항·현대 운동 모형과 해설은 자체 교육용이며 실제 실험 자료가 아니에요.