수를 제곱하거나 제곱근을 구하면, 첫 숫자의 비율은 그대로일까요?

첫 유효숫자의 분포는 값을 제곱하거나 제곱근을 취해도 그대로일까요? U를 [0,1)에서 균등하게 고르고 X=10ᵁ로 둬요. X는 [1,10)의 양수예요. 그 첫 숫자 d의 확률은 log₁₀((d+1)/d)라고 주어져요. 양수 지수 a에 대해 Y=Xᵃ를 만들어 봐요.

\begin{gathered} U\sim\mathrm{Unif}[0,1),\quad X=10^U,\quad Y=X^a,\quad a>0,\\ V=\{aU\}=aU-\lfloor aU\rfloor,\\ D(Y)=d\iff\log_{10}d\le V<\log_{10}(d+1). \end{gathered}

중괄호는 소수부분, 바닥 기호는 그 값 이하의 가장 큰 정수예요. 1부터 9까지 모든 첫 숫자의 확률이 처음과 같은 a를 전부 구해 볼까요? a=2와 a=1/2에서는 첫 숫자 1의 확률도 계산해 보세요.

a=m+r로 나눠 볼게요. m은 0 이상 정수이고 0≤r<1입니다. aU는 길이 a인 구간 [0,a)에서 균등해요. 이를 길이 1의 구간으로 접으면 m개의 완전한 구간과 길이 r인 마지막 조각이 겹쳐요. 각 완전한 구간이 밀도 1/a를, 마지막 조각이 [0,r)에 밀도 1/a를 더해요.

\begin{gathered} f_V(v)= \begin{cases} (m+1)/a,&0\le v<r,\\ m/a,&r\le v<1, \end{cases}\\ P(D(Y)=d)=\log_{10}\frac{d+1}{d}\ \ (d=1,\ldots,9)\\ \Longleftrightarrow\quad a\in\{1,2,3,\ldots\}. \end{gathered}

먼저 a가 양의 정수면 r=0이므로 첫 구간은 비어 있고 두 번째 밀도가 1입니다. 따라서 모든 첫 숫자의 확률이 보존돼요.

역방향은 소수부분이 균등하지 않다는 말만으로 끝내지 않아요. 0<r≤log₁₀9이면 숫자 9의 구간 전체에 밀도 m/a<1이 적용되어, 그 확률은 처음보다 작아요. log₁₀9<r<1이면 숫자 1의 구간 전체에 밀도 (m+1)/a>1이 적용되어, 그 확률은 처음보다 커요. 양의 비정수 a는 두 경우 중 하나이므로 모든 첫 숫자의 확률을 보존할 수 없어요.

연산	첫 숫자1 확률	전체 첫 숫자 분포
원래 X	log₁₀2	주어진 분포
제곱 X²	log₁₀2	그대로
양의 제곱근 √X	2log₁₀2	달라짐

제곱근은 [1,√10)에만 놓여요. 첫 숫자 1은 U<2log₁₀2라 확률이 약 0.602이고, 제곱의 약 0.301과 달라요. 제곱은 로그 구간을 정확히 두 바퀴로 접지만 제곱근은 반 바퀴만 써요. 단순히 증가하는 변환이라는 조건은 분포보존에 충분하지 않아요.

Newcomb의 1881년 원문에서 로그의 소수부분을 원 둘레처럼 읽는 관점을 가져왔어요. 현재 계산은 그 소수부분이 균등한 자체 X 모형을 전제로 하며, 원문의 보편적 수렴 주장을 증명한 것이 아니에요.

교사는 X에 같은 상수를 곱하는 단위 변환과 X 자체를 거듭제곱하는 변환을 구별하게 해요. 제곱·제곱근의 두 값을 확인한 뒤에는 다른 양수 지수도 포함한 필요충분조건을 요구해요. 특정 자연 자료의 진위를 이 분포로 판정하거나 측정치가 모두 이 모형이라고 추정하지 않아요.

착안: Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers (1881), pp.39–40. X의 선택 조건, 거듭제곱 질문, 전체 지수 분류와 표는 자체 교육용으로 작성했어요.

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