두 스피커를 (−2,0),(2,0)에 놓고, 같은 위상에서 파장 2인 소리를 낸다고 해 볼까요? 길이는 모두 같은 단위예요. y=h인 관측선의 닫힌 구간 −2≤x≤2에서 두 소리의 위상이 맞는 점을 세어요. h=3과 h=4의 개수는 같을까요?
| 관측 구간 | 가까운 선 | 먼 선 |
|---|---|---|
| 높이 h | 3 | 4 |
| x의 범위 | [−2,2] | [−2,2] |
반사 없이 경로 길이만 위상 차를 정하는 자체 모형이에요. 일반적으로 a,h,λ,L>0일 때 스피커는 F₁=(−a,0),F₂=(a,0), 관측점은 P=(x,h)입니다. 경로 차와 위상 일치의 차수 m을 다음처럼 정의해요.
무한한 관측선 전체에서 가능한 차수와 각 점의 위치를 전부 구해 볼까요? 이어 닫힌 구간 −L≤x≤L에 들어오는 점의 개수도 구해 볼까요? 위상 일치가 실제 소리 세기의 최대라는 조건은 주지 않아요.
h=3에서는 x=−2,0,2의 세 점이에요. 예를 들어 (2,3)의 두 거리는 5와 3이라 경로 차가 파장 하나인 2입니다. h=4에서는 x=0 하나만 구간에 남아요. 오른쪽 끝의 경로 차가 4(√2−1)<2이기 때문이에요.
왜 더 먼 선에서 두 점이 사라졌는지 전체 조건부터 확인해요. Δ는 홀수 함수예요. g(t)=t/√(t²+h²)는 g′(t)=h²/(t²+h²)^(3/2)>0이므로 Δ′(x)=g(x+a)−g(x−a)>0입니다. 따라서 경로 차는 x를 따라 엄격히 증가해요. 유리화하면 Δ(x)=4ax/(PF₁+PF₂)여서 양끝 극한은 −2a와 2a입니다. h>0인 점은 두 스피커와 일직선이 아니므로 삼각부등식의 등호가 성립하지 않아요. 치역(함수가 실제로 내놓는 값의 범위)은 닫힌 구간이 아니라 (−2a,2a)입니다.
따라서 차수 m의 점은 |m|λ<2a일 때에만 하나 존재해요. 경계 |m|λ=2a는 아무리 먼 유한한 위치에서도 얻지 못해요. s=mλ/2라 놓으면 그 위치와 무한 관측선의 개수는 다음과 같아요.
천장 기호는 그 수 이상인 최소 정수, 바닥 기호는 그 수를 넘지 않는 최대 정수예요. m=0에는 x₀=0이 포함돼요. 위치식의 제곱근을 Q라 두면 두 거리는 aQ+s와 aQ−s입니다. |s|<a에서 모두 양수이며, 각각의 제곱을 계산하면 원래 거리식과 같아 경로 차 2s를 직접 확인할 수 있어요. 표준 쌍곡선 식만 얻고 반대 갈래까지 답에 넣지 않아요.
닫힌 관측 구간에서는 Δ의 치역이 [−D,D]여서 |m|λ≤D를 세어요. 이때 끝점 등호는 포함돼요. 음원 간격이 만드는 엄격한 경계와 관측 구간의 닫힌 끝점은 서로 다른 조건이에요. 표의 a=λ=2에서는 전체 차수가 −1,0,1로 높이와 무관해요. h=4에서도 세 점은 x=0,±√(19/3)에 있지만 두 바깥 점이 관측 구간 밖으로 옮겨 간 거예요.
Codoban의 두 스피커 해설은 경로 차의 자취를 쌍곡선으로 읽어요. 현재는 음원 배치와 관측 구간을 새로 정하고, 전체 차수의 엄격한 경계와 유한 관측 폭의 닫힌 경계를 따로 증명했어요. 소리의 실제 세기나 장치 성능을 측정한 결과는 아니에요.
교사는 “멀리 가면 점의 수가 줄어든다”는 답에서 어느 범위의 점을 세었는지 먼저 물어요. 무한 관측선의 개수는 그대로이고, 고정된 폭 안의 개수만 바뀌어요. 2a/λ가 정수일 때 floor로 만든 전체 개수에 양쪽 경계 두 점을 잘못 더했는지도 확인하게 해요.
착안: Sorin Codoban, Interference, revised 21 November 2003. 좌표·수치·표·문항·위상 판정 모형·증명은 자체 교육용으로 작성했어요.