두 장치는 빨강·파랑·노랑 구슬 중 한 종류를 내보내요. 같은 장치의 출력들은 서로 독립이며, 매번 같은 색별 확률을 써요. 확률 0인 종류도 허용해요. 두 번 뽑아 같은 색이 나올 확률이 두 장치에서 같다면, 세 번 모두 같은 색일 확률도 같을까요?
| 장치 | 빨강 | 파랑 | 노랑 |
|---|---|---|---|
| A | 1/2 | 1/2 | 0 |
| B | 2/3 | 1/6 | 1/6 |
이어서 모든 장치의 세 확률을 p, q, r로 쓸게요. 두 번 같은 색일 확률은 정확히 1/2로 주어졌어요. 허용되는 모든 분포에서 세 번 모두 같은 색일 확률 T의 최솟값·최댓값과 등호인 분포를 전부 구해 볼까요?
세 확률이 모두 양수라는 조건을 더 붙여도 같은 최솟값을 달성할 수 있나요? 표와 확률은 실제 구슬 실험의 관측비율이 아닌 자체 모형이에요.
A의 쌍 일치 확률은 1/4+1/4=1/2입니다. B도 4/9+1/36+1/36=1/2입니다. 하지만 세 번 일치는 A가 1/8+1/8=1/4, B가 8/27+1/216+1/216=11/36입니다. 매회 독립이라는 조건을 유지해도 쌍의 확률 하나로 세 번 일치를 정할 수 없어요.
두 후보만 비교해서 전체 최솟값과 최댓값이라고 단정하지 않아요. 조건을 전개하면 pq+qr+rp=1/4이고, 세제곱의 항등식에서 T=1/4+3pqr를 얻어요. 세 확률이 비음수여서 T≥1/4입니다. 등호는 적어도 하나가 0이어야 하며, 나머지 둘의 합 1·제곱합 1/2로 둘 다 1/2가 돼요. 따라서 A의 색 순서만 바꾼 분포들이 전부예요.
상한은 pqr를 제한해야 해요. p+q=1−r를 조건에 넣으면 pq=(r−1/2)²입니다. 다시 두 수의 차를 제곱하면 r의 전체 허용범위도 나와요.
가운데 항등식은 pq=(r−1/2)²를 대입해 전개하면 확인돼요. 상한의 등호는 r=2/3 또는 r=1/6입니다. 앞의 경우 p=q=1/6이고, 뒤의 경우 나머지 둘이 2/3와 1/6입니다. 따라서 B의 색 순서만 바꾼 분포들이 모든 최대 분포예요.
세 확률을 모두 양수로 요구하면 pqr>0이므로 1/4는 더 이상 얻지 못해요. 그러나 r를 양수에서 0으로 가까이 보내고 p, q를 합 1−r·곱 (r−1/2)²의 두 양수 해로 고르면 같은 쌍 확률을 유지하며 T가 1/4로 접근해요. 하한 1/4와 실제 최솟값의 존재를 구별해야 해요. 상한 11/36은 B가 모두 양수이므로 그대로 달성해요.
Camarri의 보고서는 균등하지 않은 공통분포에서 반복되는 값과 반복의 차수를 구별해요. 여기서는 논문의 반복시간 점근정리를 적용하는 대신 세 종류의 유한 모형에서 쌍 일치 확률만 고정했을 때 세 번 일치의 범위를 직접 증명했어요. 실제 생일이나 출생 통계의 추정값을 보고한 것이 아니에요.
처음 두 행의 반례와 모든 허용 분포의 상하한 증명을 서로 다른 답으로 비교해 봐요. 독립을 곧 균등이라고 쓰거나, 상한을 주는 후보 하나만 찾고 다른 분포를 배제하지 않은 줄을 점검해요. 확률 0을 허용하는지도 최소값 판정에 남겨야 해요.
착안: Michael Camarri, Asymptotics for k-fold repeats in the birthday problem with unequal probabilities, Technical Report 524, 10 July 1998, pp 1–3. 확률표·제약·최적화 질문·해설은 자체 교육용으로 작성했어요.