각도 상태 θ는 0에서 출발해요. 0≤t≤T이고 T>0입니다. 상태는 시간이 지나는 동안 θ′=α+βt로 변하며, α,β는 알 수 없는 고정 실수예요. ‘반전’은 그 순간 θ를 −θ로 바꾸는 자체 계산 규칙이에요. 반전 뒤에도 변화율 α+βt는 그대로예요. 각도는 2π로 나눈 나머지가 아닌 실수 누적값으로 세어요.
정해진 두 시각 s₁,s₂에서 반전하여, 어떤 α,β에서도 마지막 θ(T)를 0으로 만들 수 있을까요? α,β를 관측한 뒤 시각을 바꾸는 방법은 허용하지 않아요.
첫 구간에서 쌓인 각도는 두 번 반전되어 끝에서는 양의 부호예요. 가운데 구간은 한 번 반전되어 음의 부호이고, 마지막 구간은 반전되지 않아요. 따라서 마지막 값은
적분하면 α의 계수는 T+2s₁−2s₂, β의 계수는 T²/2+s₁²−s₂²입니다. 모든 실수 α,β에서 0이 되려면 두 계수가 따로 0이어야 해요. 첫 식은 s₂−s₁=T/2를 줘요. 둘째에 대입하면 (s₂−s₁)(s₂+s₁)=T²/2이므로 s₂+s₁=T입니다. 따라서
이 시각들은 허용 순서를 만족하고 두 계수를 실제 0으로 만들므로 충분하며 유일해요. 특정 α,β에서 우연히 상쇄되는 시각만 찾은 것이 아니에요.
반전 한 번으로도 가능할까요? 시각 s의 한 번 반전에서는 마지막 값이 α(T−2s)+β(T²/2−s²)입니다. α 항을 지우려면 s=T/2인데, 그때 β 항은 βT²/4가 남아요. 따라서 선형 드리프트까지 모두 지울 수 없어요. β=0인 일정 변화율만 주어졌을 때는 가운데 반전 한 번으로 충분해요.
ETH의 echo 설명은 이상적인 pulse의 y성분 반전 뒤 다시 모이는 과정을 소개해요. 여기서는 그 부호 전환 관점만 사용해, 알 수 없는 일정항과 선형항을 동시에 지우는 별도 모형을 만들었어요. 실제 자화의 이완이나 pulse 폭을 계산한 결과는 아니에요.
교사는 “반전”이 현재 각도만 바꾸는지 이후 변화율도 바꾸는지 먼저 쓰게 해요. 그런 뒤 ‘모든 α,β’라는 조건을 각 계수 0으로 읽게 해요. 일정한 오차 하나를 없앤 시각을 시간이 바뀌는 오차에도 그대로 쓰면 남는 항을 놓쳐요.
착안: ETH Zurich EPR, Two-pulse ESEEM. 누적 각도·선형 변화율·두 반전 규칙·문항과 증명은 자체 교육용이에요.