두 성분이 각각 일정한 비율로 줄어들어요. 그런데 둘을 합쳐 기록하면, 현재 합계가 절반으로 줄어드는 데 걸리는 추가시간도 늘 같을까요? 다음은 실제 측정 대신 정확한 식을 정한 자체 교육용 모형이에요. 시간은 같은 단위를 쓰며 두 성분 사이에 생성, 이동, 반응은 없어요.
첫 성분은 1시간마다 절반이 되고, 둘째는 1/2시간마다 절반이 돼요. 여기서는 시간 단위를 1시간으로 정했어요. 이 두 사실만으로 합계의 추가시간을 평균하면 안 돼요.
| 시작 시각 t | 현재 합계 N(t) | 도달할 절반값 | 추가시간 τ(t) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 1 | log₂((1+√5)/2) ≈ 0.69424 |
| 1 | 3/4 | 3/8 | log₂((2+√10)/3) ≈ 0.78305 |
y를 2의 −τ 제곱으로 놓으면 이차방정식으로 바뀌어요. 첫 행은 y+y²=1, 둘째는 y/2+y²/4=3/8입니다. 여기서 y는 0과 1 사이인 해를 골라요. 시작 시각이 늦어졌더니 현재 합계의 절반까지 필요한 시간은 길어졌어요. 어느 성분의 감소율을 바꾼 적은 없어요.
이것이 두 수치에서만 생긴 일인지 살펴봐요. 양수인 초기량 aᵢ와 양수인 감소율 λᵢ를 가진 유한 m개 성분을 더해요. 모든 성분은 같은 단위의 잔량이고, 새 성분이 생기거나 밖에서 들어오지 않아요. 합계 N은 양수에서 계속 줄어 0으로 가므로, 각 시각의 절반값에 도달하는 추가시간은 하나씩 존재해요.
pᵢ는 그 시각에 남아 있는 합계에서 i성분이 차지하는 비중이며 모두 양수이고 합은 1입니다. k는 합계의 현재 양에 대한 순간 감소율이에요. 비중을 미분하면 pᵢ′=pᵢ(k−λᵢ)가 되고, 이를 k의 식에 대입하면 마지막 줄을 얻어요. 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양)과 같은 제곱합이 음수 부호를 달고 나타나요.
모든 λ가 같으면 제곱합은 0입니다. 이때 N은 한 지수함수로 정리되므로 추가시간은 ln2/λ로 일정해요. 서로 다른 λ가 하나라도 있으면 양수 비중 때문에 제곱합은 항상 양수이고 k는 엄격히 줄어들어요.
이제 고정한 추가시간 u>0에 남는 비율 Q(t,u)=N(t+u)/N(t)를 볼까요? t에 대한 변화율을 Q로 나누면 k(t)−k(t+u)입니다. 서로 다른 감소율이 있으면 이것은 양수라, 나중에 시작할수록 같은 u 뒤에 남는 비율이 더 커요. 절반까지 더 줄이려면 u를 늘려야 해요. 따라서 τ(t)는 모든 유한 시각에서 엄격히 증가해요. 모든 감소율이 같을 때에만 일정해요.
범위와 마지막 값도 구할 수 있어요. 가장 작은 감소율을 λmin, 가장 큰 것을 λmax라 해 볼까요? 같은 u에서 Q는 e⁻λmaxu 이상 e⁻λminu 이하이므로 추가시간은 ln2/λmax와 ln2/λmin 사이에 있어요. 감소율이 서로 다르면 유한 시각에서는 양 끝값에 닿지 않아요.
시간이 아주 길어지면 가장 느리게 줄어드는 성분들의 비중만 남아요. 분자와 분모에서 e⁻λmint를 약분하면 다른 성분의 비중이 0으로 가는 것을 직접 확인할 수 있어요. Q는 고정 u에서 e⁻λminu로 가고, 절반을 만드는 추가시간도 ln2/λmin으로 가요. 첫 예에서는 1시간에 가까워지지만 유한 시각에 1시간이 되지는 않아요.
교사는 전체의 변화율과 성분 하나의 변화율을 구별하게 해요. 제공 교재의 지수함수 미분과 가중 분산의 제곱합은 위 계산에 쓰지만, 이 합계 모형이나 추가시간의 전체 분류가 교재에 수록됐다는 뜻은 아니에요.
IAEA와 MIT 원문은 단일 성분의 상수 감소율과 반감기(남은 양이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간)를 설명해요. 현재 글은 같은 단위의 원래 성분 잔량을 합친 자체 연속 모형이에요. 새 물질이 생기는 붕괴 연쇄, 전체 물질의 질량, 실제 방사능 측정값을 같은 합계로 바꾸지 않아요.
착안: IAEA의 기초 물리 §1.4.1, 인쇄17–18쪽와 MIT Lecture3의 단순 감소·반감기·순간 혼합 설명. 자체 수치·질문·합계 추가시간의 분류와 증명을 작성했으며 원문 도판이나 실험 데이터를 사용하지 않았어요.