같은 전원에서 출력 8W 이상과 효율 75% 이상을 함께 요구하면, 저항을 잘 고르기만 하면 될까요? 기전력 E=6V, 내부 저항 r=1Ω인 자체 이상 모형이에요. 외부에는 유한한 순수 저항 R>0만 연결하며, E와 r은 바뀌지 않아요. 여기서 효율은 외부 저항에 전달된 전력을 전원이 낸 전체 전력으로 나눈 비율이에요.
다음 값은 실제 전지의 시험 결과가 아니라 식에 대입해 만든 표예요.
| 외부 저항 R(Ω) | 부하 출력 P(W) | 효율 η |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 1/2 |
| 2 | 8 | 2/3 |
| 3 | 27/4 | 3/4 |
출력이 가장 큰 첫 줄도 효율은 50%입니다. 효율이 75%인 마지막 줄은 요구 출력 8W에 못 미쳐요. 표에 없는 저항을 택하면 두 요구를 만족할 수 있을까요?
효율을 변수로 바꾸면 전체를 확인할 수 있어요. R>0일 때 0<η<1이고, 반대로 그 사이의 모든 η는 R=rη/(1−η)라는 저항 하나에 대응해요. 출력식을 η로 쓰면
이번 요구에서는 rQ/E²=2/9입니다. η(1−η)≥2/9를 풀면 1/3≤η≤2/3입니다. 따라서 효율 3/4 이상인 해는 없어요. 효율 하한을 2/3으로 낮추면 끝점 하나만 남아, R=2Ω에서 출력 8W와 효율 2/3을 함께 얻어요. 처음 표에 없던 저항까지 확인한 결론이에요.
일반 조건도 같은 식으로 정리돼요. E,r>0를 고정하고 요구 출력 Q>0, 효율 하한 0≤α≤1을 줄게요. τ=rQ/E²>1/4이면 출력 요구만으로 이미 불가능해요. 0<τ≤1/4에서는 다음 두 끝점을 사용해요.
이 구간에 값이 있으려면 α≤η₊여야 하고, 이 조건이면 충분해요. 허용된 효율마다 R=rη/(1−η)로 실제 양수 저항을 만들 수 있기 때문이에요. 두 끝점도 포함되므로 최고 효율 η₊는 유일한 저항에서 달성해요. 그때 출력은 요구한 Q와 정확히 같아요. τ=1/4에서는 저항 R=r 하나만 남아요.
요구 출력이 Q=0이면 경계가 달라져요. α<1인 한 η≥α인 양수 저항이 존재해요. 그러나 어느 유한 R에서도 η는 1보다 작으므로 최고 효율은 없어요. 더 큰 R을 택해 효율을 더 높일 수 있지만 출력은 0에 가까워져요. α=1을 요구하면 해가 없어요. 100%에 가까워지는 계산과 100%를 실제로 달성하는 저항을 구별해야 해요.
교사는 ‘출력이 큰가’, ‘효율이 높은가’, ‘두 하한을 함께 만족하는가’를 서로 다른 질문으로 적게 해요. 꼭짓점에서 최대 출력이 나온다는 계산은 맞지만, 원하는 효율까지 보장하는 것은 아니에요. 완전제곱과 허용 구간을 읽은 뒤 그 효율에 대응하는 저항도 되돌려 확인해요.
이 글은 고정 기전력과 고정 내부 저항의 직류 종이 모형이에요. 실제 전지의 방전·온도·전류 제한·시간 변화나 기기 설계 조건을 검사하지 않았어요. 알려진 최대 전력 전달 결과 자체를 새 발견이라고 주장하지 않아요.
착안: University of Iowa의 내부 저항·최대 출력 시연 안내, Richard Fitzpatrick, Power and Internal Resistance. 알려진 전력식에서 출발하되 두 요구의 전체 가능 조건·표·질문·증명은 자체 작성했어요. 원문 시연 사진·측정값·실험 절차를 재현한 자료가 아니에요.