같은 시간 간격으로 합계 32, 16, 10, 7을 기록했어요. 두 성분이 각각 일정한 비율로 줄어든 결과라면 각 성분의 초기량과 감소 비율을 복원할 수 있을까요? 다음은 실제 측정 대신 오차가 없는 자체 모형이에요.
두 성분은 같은 단위의 양이고 서로 생성·이동·반응하지 않아요. 알려진 배경항도 없어요. 비율이 같을 수도 있어요. 첫 합계 S₀는 양수이며 네 값 S₀,S₁,S₂,S₃만 정확히 알려져 있어요. 예의 두 초기량·비율을 구하고, 일반적인 실수 네 값이 이 모형과 양립할 필요충분조건을 밝혀 보세요. 비율이 같은 경우에도 초기량이 각각 정해지나요?
먼저 합계로 나눠 A=S₁/S₀, B=S₂/S₀, C=S₃/S₀라 놓아요. p=c₁/S₀이면 0<p<1이고 A, B, C는 각각 q₁, q₂의 1·2·3제곱을 p, 1−p로 더한 값이에요.
직접 전개하면 D=p(1−p)(q₁−q₂)²입니다. 따라서 D<0이면 불가능해요. D=0이면 양수 비중 때문에 q₁=q₂=A여야 해요. 이 경우에는 0<A<1, B=A², C=A³일 때에만 양립해요. 두 비율은 A로 정해지지만 초기량은 양수 둘의 합이 S₀라는 조건만 남아요.
D>0이면 두 비율이 달라요. 그 합을 U, 곱을 V라 쓰면 각 비율은 z²−Uz+V=0을 만족해요. 이를 비중으로 더해 B=UA−V, C=UB−VA를 얻고 연립하여 다음 값을 계산해요.
이 이차방정식의 두 근을 r<s라 해 볼까요? 두 근이 모두 0과 1 사이일 때에만 양립해요. 실근이 있는지를 별도 가정할 필요는 없어요. V=UA−B이므로 판별식은 (U−2A)²+4D>0입니다. 또 (A−r)(A−s)=A²−B=−D<0이라 A는 두 근 사이에 있어요. 따라서 다음 초기량은 모두 양수예요.
이 비중은 합이 1이고 첫 기록 A를 만들어요. 각 근의 이차식으로 둘째 기록 B=UA−V, 셋째 기록 C=UB−VA도 돌아오므로 조건의 충분성까지 증명돼요. 다른 분해가 있더라도 같은 네 기록에서 U, V가 먼저 정해지므로 두 근과 초기량도 같아요. 성분 이름을 바꾸는 순서만 제외하면 유일해요.
32, 16, 10, 7에서는 A=1/2, B=5/16, C=7/32, D=1/16이고 U=1, V=3/16입니다. 두 비율은 1/4와 3/4, 초기량은 각각 16입니다. 이 모형의 다음 합계도 41/8로 정해져요.
같은 앞 세 합계 뒤에 9를 적어도 네 합계는 계속 줄어들어요. 그러나 U=2, V=11/16이 되어 한 근이 1+√5/4>1입니다. 양수 두 성분이 모두 감소한다는 현재 조건과는 맞지 않아요. 합계가 감소한다는 관찰만으로 각 성분의 조건을 대신할 수 없어요.
반대로 32, 16, 8, 4는 두 비율을 모두 1/2로 정해요. 초기량은 16과 16이어도, 8과 24여도 돼요. 네 숫자와 미지수 네 개가 있다는 횟수만 세면 이 퇴화를 놓쳐요. 무엇이 유일한지를 비율과 초기량으로 나누어 질문해야 해요.
이차방정식의 해를 구한 뒤에도 두 근의 범위와 복원한 초기량의 부호를 확인해 봐요. 식으로 후보를 계산하는 단계, 모형과 양립하는지 판단하는 단계, 이름 교환 외에 유일한지 증명하는 단계가 서로 달라요.
Prony 방법은 지수 성분의 합에서 표본을 이용해 비율을 복원하는 알려진 방법이에요. 여기서는 성분 수를 두 개로 가정하고 양수 초기량·엄격히 감소하는 비율·정확한 네 기록으로 좁혔어요. 실제 장치의 성분 수나 잡음 속 추정 정확도를 판정하는 절차를 제안하지 않아요. 원문도 수치 계산의 어려움을 별도로 다뤄요.
착안: Charles L. Byrne, Mathematics of Signal Processing, Chapter 50, 인쇄239–241쪽. 알려진 표본·다항식 복원 원리를 바탕으로 자체 합계, 양수 두 성분의 전체 양립 조건과 퇴화 분류를 작성했으며 원문 도판·실험값을 사용하지 않았어요.