두 날짜씩 비 여부가 독립이면, 나흘 내내 비가 안 올 확률도 정해질까요?

하루의 비 올 확률이 40%라면, 나흘 내내 비가 오지 않을 확률은 0.6을 네 번 곱하면 되지 않을까요? 그런데 조건이 “어떤 두 날짜를 골라도 독립”이라면 그 답까지 정해질까요?

실제 예보 대신 자체 확률 모형을 생각해 봐요. 하루 동안 정한 기준 이상의 비가 오면 1, 그렇지 않으면 0입니다. 네 날짜 각각의 비 올 확률은 $2/5$이고, 어떤 두 날짜의 기록도 독립이에요. 모든 날짜가 함께 독립이라는 조건은 주지 않아요. 비 온 날 수를 $K$라 하면 두 날짜의 조건으로 그 수의 평균과 제곱의 평균은 정해지지만, 확률분포 전체는 남아요. 나흘 내내 비가 오지 않을 확률의 정확한 범위는

입니다. 완전 독립일 때의 $(3/5)^4=81/625$는 가능한 한 값일 뿐이에요. 아래 두 모형은 양끝을 실제로 만들어요. 비 온 날 수를 먼저 뽑은 다음, 그 수만큼 날짜를 고르는 모든 방법을 같은 확률로 선택해요.

두 모형 모두 비 온 날 수의 평균은 $8/5$, 서로 다른 두 날짜가 모두 비 올 확률은 $4/25$입니다. 따라서 각 날짜의 확률도, 모든 두 날짜의 독립도 같아요. 하지만 첫 모형은 적어도 하루 반드시 비가 오고, 둘째 모형은 나흘 모두 비가 안 올 확률이 $19/75$입니다. 두 모형의 공동분포를 섞으면 그 사이 모든 값도 가능해요.

날짜 수를 정수 $n\ge2$, 각 날짜의 확률을 $p$로 넓혀도 정확한 범위를 구할 수 있어요. $0<p<1$, $h=1+(n-1)p$, $m=\lfloor h\rfloor$로 놓으면 다음과 같아요.

상한은 정수 $K$가 연속된 두 정수 $m,m+1$ 사이에 다른 값을 갖지 못한다는 사실에서 나와요. 하한도 $0\le K\le n$에 맞는 이차식을 평균 내어 얻어요. 두 평균을 만족하는 날 수 분포를 만든 뒤 날짜를 균등하게 배치하면 양끝이 모두 달성돼요. $p=0$이면 기간 내내 비가 오지 않고, $p=1$이면 그 확률은 0입니다. $n=2$도 답이 유일하지만, $n\ge3$이고 $0<p<1$이면 항상 서로 다른 답이 남아요.

교사는 먼저 표의 각 열에서 한 날짜의 확률과 두 날짜의 곱확률을 확인하게 한 뒤, 기간 전체의 확률도 같은지 물을 수 있어요. “독립”이라는 말의 범위가 두 날짜인지 모든 날짜인지 구별하는 것을 넘어, 주어진 조건이 허용하는 최솟값과 최댓값까지 따져 보는 질문이에요.

호주 기상청의 강수 예보 확률 설명은 예보가 확실성이 아닌 가능성을 표현한다는 배경으로 읽었어요. 여기의 날짜별 독립 조건·확률표·일반 범위와 증명은 자체 교육용 구성이며 실제 지역의 예보나 관측을 분석한 결과는 아니에요.