색만 맞춘 퍼즐, 조각도 원래 자리로 돌아왔을까요?

학생이 색 조각 퍼즐을 맞췄어요. 교사는 색이 원래 그림과 같다는 이유로 정답을 주어도 될까요? 목표가 색 그림 완성인지, 각 조각을 원래 자리로 되돌리는 것인지 먼저 정해야 해요. 겉으로 같은 결과여도 두 과제의 채점 기준은 달라져요.

조각 뒤에는 서로 다른 번호를 적되 앞에서는 같은 색 조각을 구별하지 못하게 해요. 판은 직사각 격자이고 빈칸은 하나예요. 빈칸과 가로 또는 세로로 이웃한 조각만 밀며, 조각을 꺼내거나 두 조각을 직접 바꾸지는 않아요. 비교할 때는 빈칸도 처음 자리로 돌아와야 해요. 칸별 색 그림을 비교하므로 판을 돌리거나 뒤집어서 같은 그림으로 처리하지 않아요.

교사는 처음부터 두 질문을 따로 제시할 수 있어요. “이 색 목표를 만들 수 있을까?”는 고른 그림에 도달할 수 있는지 물어요. “원래 색으로 돌아왔으니 각 조각도 돌아왔을까?”는 처음 번호 배치에서 합법적으로 섞은 뒤의 복귀를 확인해요. 두 번째 질문에서는 임의로 조각을 꺼내 만든 시작 상태를 허용하면 안 돼요.

먼저 $2\times2$ 판의 세 조각을 모두 다른 색으로 놓아요. 원래 배치에서 빈칸을 같은 자리에 두고 도달할 수 있는 번호 배치는 세 개예요. 가능한 전체 배치 여섯 개의 절반이에요. 다음에는 두 조각만 같은 색으로 바꿔요. 색 목표는 세 개로 줄고 이제 그 세 목표가 전부 가능해요. 그런데 원래 색 배치로 돌아왔다면 숨은 번호도 모두 원래 자리예요. 같은 색 두 조각만 뒤바뀐 상태는 이 규칙으로 도달할 수 없기 때문이에요.

마지막으로 세 조각을 모두 같은 색으로 바꿔요. 빈칸을 사각형 주위로 네 번 움직이면 빈칸은 돌아오지만 세 조각은 서로 다른 자리로 순환해요. 색 그림은 처음과 같아요. 교사는 이 조작 전후에 번호를 공개하며 “색 그림 완성에는 성공했지만, 번호별 복귀에는 실패했다”고 피드백할 수 있어요. 색만 맞추는 과제였다면 실패로 채점할 이유가 없어요.

이 차이는 큰 판에서도 색별 개수로 정리돼요. 가로와 세로가 모두 두 칸 이상인 직사각 판을 생각해 봐요. 조각 수를 $M$, 색별 개수를 $c_1,\ldots,c_s$로 놓아요.

$T$는 모든 색 목표의 수이고, $D$는 한 색 목표 안에서 숨은 번호를 배정하는 방법의 수예요. 서로 다른 번호 $M$개를 칸에 나열한 뒤, 같은 색의 번호 배정 $D$개씩을 하나의 색 그림으로 묶어 세어요.

여기서 직사각 슬라이딩 퍼즐의 알려진 도달 정리를 사용해요. 빈칸 위치가 같은 두 번호 배치는 상대 순열이 짝순열일 때, 그리고 그때만 서로 도달할 수 있어요. 짝순열은 두 번호를 맞바꾸는 교환을 짝수 번 겹쳐 표현할 수 있는 순열이에요. 이 교환은 배치를 비교하는 계산이며, 퍼즐의 이동 규칙을 늘리는 뜻은 아니에요. 고전 도달 정리의 충분성은 배경으로 쓰고, 그 위에서 색별 배정과 평가 조건을 따진다.

모든 색이 다르면 $D=1$입니다. 각 색 목표에 번호 배정이 하나씩 있으므로 $M!/2$개의 색 목표만 가능해요. 같은 색 조각이 있으면 결론이 달라져요. 같은 색의 두 숨은 번호를 정해 각 목표의 번호 배정들끼리 짝지으면, 두 배정은 색이 같고 홀짝은 반대예요. 따라서 모든 색 목표 안에 짝순열 배정이 정확히 절반씩 있어요. 모두 도달 가능한 대표를 가지므로 모든 $T$개 색 목표가 가능해요. 이 숨은 번호의 교환도 실제 이동을 제안한 것이 아니라 후보를 세는 짝짓기다.

원래 색 그림 안에서도 같은 수를 세어요. 원래 번호 배치 하나를 빼면, 색은 맞지만 번호가 틀린 도달 배치의 수는 다음과 같아요.

색만 확인해도 번호별 복귀를 보증하는 조건은 $D\le2$입니다. 모든 색이 다르거나, 같은 색 한 쌍만 있고 나머지는 모두 다른 색인 경우예요. 같은 색 세 조각은 세 번호의 순환을 숨길 수 있고, 서로 다른 색의 두 쌍은 두 쌍이 함께 뒤바뀐 짝순열을 숨길 수 있어요. 이 두 경우부터 색 확인만으로는 부족해요.

한 줄 판은 따로 비교해야 해요. 조각들이 서로 지나칠 수 없으므로 번호 순서가 보존돼요. 빈칸이 처음 칸으로 돌아오면 모든 조각의 위치도 원래대로다. 같은 색이 몇 개이든 가능한 색 목표는 원래 순서 하나뿐이고, 색과 빈칸이 돌아온 상태에서는 번호도 돌아와요. 조각이 없는 $1\times1$ 판도 이 경우에 포함해요. 두 차원 판의 절반 계산을 한 줄 판에 적용하면 잘못된 결론이 나와요.

수업에서는 세 색을 모두 구별하는 2×2, 한 쌍을 감춘 2×2, 모두 같은 색인 2×2 순으로 제시해요. 매 단계에서 학생에게 가능한 색 목표를 먼저 예측하게 하고, 원래 색 복귀가 번호별 복귀까지 보증하는지는 따로 답하게 해요. 마지막에는 2×3 판의 두 색 쌍으로 조건을 옮겨요. 교사는 색 그림이 목표면 색으로 평가하고, 개별 조각 복귀가 목표면 위 보증 조건을 확인하거나 숨은 번호를 공개해 평가해요. 이 순서는 수학적 판단을 비교하도록 제안한 수업 설계이며, 실제 수업의 성취도나 효과를 측정한 결과는 아니에요.

UCLA 수학 서클의 퍼즐 가능성을 설명하는 질문과 Karpman·Roldán 논문의 직사각 퍼즐의 고전 도달 조건에서 착안했어요. 색별 개수와 두 평가 목표를 비교하는 문항·배정 계산은 별도로 구성했으며, 원전 도판이나 실제 학생 결과를 재현하지 않았어요.