옆 친구 두 명의 수를 더해 반으로 나누면, 결국 모두 처음의 평균을 적게 될까요? 그런데 모두 동시에 쓰는 대신 한 명씩 쓰고, 앞사람이 방금 고친 수를 바로 읽으면 어떨까요? 같은 평균 규칙이어도 누가 먼저 쓰느냐가 결과를 바꿔요.
원형으로 놓인 네 자리의 처음 기록을 시계방향으로 0, 2, 4, 6이라 해 볼까요? 처음의 평균은 3입니다. 첫 자리부터 한 명씩 두 이웃의 현재 기록을 평균 내어 자신의 기록을 지운 뒤 다시 써요. 첫 자리는 6과 2를 읽어 4를 써요. 다음 자리는 방금 쓴 4와 아직 바꾸지 않은 4를 읽어요. 한 바퀴가 끝나면 기록은 4, 4, 5, 9/2가 돼요. 이 절차는 수를 쓰는 규칙이며, 일정한 개수의 물건을 나누어 갖는 규칙이 아니에요.
이를 계속하면 모두 같은 값에 가까워져요. 그러나 첫 자리부터 시작한 이 실행의 극한은 3이 아닌 9/2입니다. 시작 자리만 바꾸어 다시 실행해 볼까요? 비교할 때에는 매번 네 기록을 원래의 0, 2, 4, 6으로 되돌린다. 이전 실행의 결과에서 이어서 시작하는 방식과 구별해요.
| 매 바퀴 처음 쓰는 자리 | 그 자리의 처음 기록 | 바로 앞 자리의 처음 기록 | 모든 기록의 공통 극한 |
|---|---|---|---|
| 첫째 | 0 | 6 | 9/2 |
| 둘째 | 2 | 0 | 5/2 |
| 셋째 | 4 | 2 | 5/2 |
| 넷째 | 6 | 4 | 5/2 |
어느 시작에서도 처음 평균 3을 얻지 못해요. 네 극한을 다시 평균 내면 3입니다. 이 두 판단을 따로 확인해야 해요.
일반적으로 자리 수 n은 3 이상인 유한 정수이고, 처음 기록 a₁부터 aₙ까지는 임의의 실수예요. 이웃은 고정된 원형 자리의 양옆이에요. 음수나 분수를 허용하고 반올림은 하지 않아요. 시작 자리 s를 정하면 매 바퀴 s부터 같은 시계방향 순서로 모든 자리가 정확히 한 번씩 써요. 첫 기록의 평균을 μ라 하며, s 바로 앞 자리의 처음 기록을 aₛ₋₁로 써요. s가 첫째이면 그 앞은 마지막 자리예요. 공통 극한은 다음과 같아요.
이 식은 첫 자리의 원래 값에 비중 0, 마지막으로 쓰는 자리의 원래 값에 비중 2, 나머지에 비중 1을 준 뒤 n으로 나눈 거예요. 첫 자리는 자신의 원래 값을 읽지 않고 두 이웃값으로 바로 지워요. 이후 자리도 그 원래 값을 읽을 기회가 없어요.
모두 같은 값에 가까워진다는 것은 따로 증명해야 해요. 시작을 첫째로 맞추고 한 바퀴 전후 기록을 x, y라 쓸게요. 첫 갱신에서 x₂는 비중 1/2로 쓰여요. 다음 갱신들에도 앞사람의 기록을 통해 그 비중이 절반씩 이어져요. 마지막 자리까지 모든 y에는 x₂가 적어도 ε=2⁻ⁿ의 비중으로 들어 있어요. 나머지 비중은 모두 음이 아니고 합이 1−ε입니다. 따라서 한 바퀴 전 기록의 최댓값과 최솟값의 차이를 R이라 하면, 다음 차이는 (1−ε)R 이하예요. k바퀴 뒤에는 다음 상계가 성립해요.
기록들의 차이가 줄어든다는 사실만으로 극한의 값까지 정하지는 못해요. 한 바퀴 전후에 보존되는 다음 합을 함께 사용해요.
한 바퀴의 갱신식을 차례로 대입하면 전후의 J가 같아요. 각 기록이 같은 값으로 접근한다면 그 값은 J/n이어야 해요. 더 직접적으로는 J/n이 매 바퀴의 최솟값과 최댓값 사이에 있으므로, 각 기록과 J/n의 차이가 Rₖ 이하예요. 앞의 등비 상계가 0으로 가므로 실제로 모두 J/n에 수렴해요. 번호를 시작 자리 s에 맞춰 돌리면 위의 Cₛ를 얻어요. 유한 번에 기록이 정확히 같아진다고 주장하는 것은 아니에요.
그럼 어떤 시작이 처음 평균을 보존할까요? 정한 s에서 극한이 μ와 같을 필요충분조건은 그 자리와 바로 앞 자리의 처음 기록이 같다는 거예요. 적어도 한 시작에서 평균을 보존하려면 원형으로 이웃한 같은 기록이 적어도 한 쌍 있어야 해요. 모든 시작에서 평균을 보존하려면 모든 처음 기록이 같아야 해요. 처음부터 모두 같으면 기록은 그대로 유지돼요. 한 자리나 두 자리에서는 두 이웃이 서로 다르다는 조건이 성립하지 않으므로 이 모형의 식을 그대로 적용하지 않아요.
각 시작의 실행을 원래 자료에서 다시 시작하면, 인접 기록의 차들이 한 바퀴를 돌며 합 0이 돼요. 그래서 모든 Cₛ의 평균은 μ입니다. 처음 기록이 모두 같지 않으면 μ보다 큰 극한과 작은 극한이 모두 있어요. 그러나 표의 예처럼 μ와 정확히 같은 극한은 하나도 없을 수 있어요. 위아래 양쪽에 결과가 있다는 사실을 가운데 값도 실현된다는 주장으로 바꾸지 않아요.
교사는 먼저 한 바퀴의 기록을 적게 하고, 어떤 원래 수가 이후 계산에서 사라졌는지 찾는 질문을 제시할 수 있어요. 이어 시작 자리만 바꾼 비교를 할 때에는 같은 초기 자료로 재시작한다는 조건을 먼저 적게 해요. ‘각 단계가 평균이므로 원래 평균도 보존된다’는 예상과, 모든 시작 결과를 평균 내는 별도의 절차를 구별하는 문항이에요. 제공 교재의 수렴과 등비수열의 극한은 이 상계의 용어와 도구이며, 순차 평균의 극한 공식을 교재가 제공한 것은 아니에요. 실제 학생의 성취나 학습효과를 측정한 자료는 포함하지 않았어요.
착안: The Open University, Teaching mathematics — 2.2 Analysing data using measures of central tendency and spread. 평균의 뜻과 질문을 제시하는 방법에 관한 설명을 읽었어요. 원형 기록의 갱신 규칙, 시작 위치별 질문과 증명은 자체 교육 모형으로 작성했어요.