높은 물때가 한 주기에 두 번 있다고 들으면, 앞 절반과 뒤 절반에 한 번씩 있다고 생각하기 쉬워요. 하지만 두 번이라는 총수만으로 그 시각까지 정해질까요? 물높이를 단순한 두 물결의 합으로 그려도, 두 봉우리가 모두 앞 절반에 들어가는 예를 만들 수 있어요.
영국 National Oceanography Centre는 지역에 따라 높은 물때의 횟수가 다르다고 설명해요. 관련 조석 자료는 진동수·크기·시각의 어긋남이 다른 여러 성분을 더한다고 설명해요. 여기서는 실제 해안의 예보 대신, 진동수 비를 정확히 1:2로 정한 교육용 물높이를 비교해요. 한 주기는 실제 태양 하루와 같다고 가정하지 않아요.
A는 0 이상이고 C,u,v는 모든 실수예요. 각도는 라디안이며 관측 범위를 0 이상 2π 미만으로 고정해요. 성분 일부가 사라져 더 짧게 반복되더라도 이 관측 범위는 유지해요. 앞쪽 시간 구간인 앞창은 0 이상 π 미만, 뒤쪽 시간 구간인 뒤창은 π 이상 2π 미만이에요. 0은 앞창, π는 뒤창에 넣어요. 봉우리는 주기적으로 이어진 그래프에서 가까운 다른 시각보다 엄격히 높은 점이에요. 잘린 창의 끝이라는 이유만으로 봉우리를 추가하지 않아요.
먼저 C=0,A=1,u=0,v=1을 볼까요? 미분하면 다음처럼 곱으로 나뉘어요.
sin t=1/4인 두 시각은 모두 앞창에 있어요. 첫 시각에서는 증가에서 감소로 바뀌고, π/2에서 다시 증가한 뒤 두 번째 시각에서 감소해요. 두 봉우리의 높이는 모두 9/8입니다. π/2와 3π/2는 골이에요. 따라서 전체 봉우리는 두 개지만 앞창 두 개, 뒤창 0개예요.
같은 크기의 느린 성분을 cos t로 바꾼 h(t)=cos2t+cos t에서는 봉우리가 0과 π에 있어 각 창에 하나씩 들어가요. cos t와 sin t의 크기는 같지만 시각이 어긋나 있어요. 성분의 크기만 유지했다고 봉우리 배분도 유지되는 것은 아니에요.
이제 A>0인 모든 계수를 볼까요? 다음 두 양을 비교하면 전체 봉우리 수를 알 수 있어요.
경계를 얻는 이유도 확인해 볼까요? 계수를 조금 바꾸어도 도함수가 양수에서 음수로 넘어가는 점은 갑자기 사라지지 않아요. 정지점이 합쳐지는 경계에서는 첫째·둘째 도함수가 동시에 0이어야 해요. 두 식을 풀면 u=−4Acos³t, v=4Asin³t가 되고, 이것이 D=K입니다. 그 안에서는 작은 계수의 네 정지점이 유지되고 밖에서는 두 정지점만 남아요. 양수에서 음수로 바뀌는 점만 봉우리로 세어요.
경계의 정지점은 무조건 봉우리일까요? 두 성분 계수가 모두 0이 아닌 경계에서는 합쳐진 점이 증가나 감소를 계속하는 정지변곡점이라 봉우리가 아니에요. 반면 u=0,v=4A인 경계의 위쪽 점은 평평하지만 엄격한 봉우리예요. 모든 경계 경우를 구별해도 전체 봉우리 수는 하나예요.
전체 개수에 시간창을 함께 넣으면 다음 표가 돼요. 표의 각 쌍은 앞창과 뒤창의 봉우리 수예요.
| 계수 조건, A>0 | 두 창의 개수 |
|---|---|
| v>0, D<K | (2,0) |
| v<0, D<K | (0,2) |
| v>0, D≥K | (1,0) |
| v<0, D≥K | (0,1) |
| v=0, −4A<u<4A | (1,1) |
| v=0, u≥4A | (1,0) |
| v=0, u≤−4A | (0,1) |
v>0이면 시작점의 기울기는 양수이고 중간점의 기울기는 음수예요. 정지점은 이 두 창의 경계를 통과하지 않아요. 안쪽의 간단한 예에서 앞창 두 봉우리를 확인하면, 경계를 만나기 전까지 그 배분도 유지돼요. v<0은 시간을 반대로 읽은 대칭이에요. v=0에서는 도함수를 −sin t(4Acos t+u)로 인수분해하여 0과 π의 부호 변화를 직접 검사해요. 따라서 각 반주기에 한 번씩이라는 결론은 정확히 v=0이면서 |u|<4A일 때만 맞아요.
A=0은 별도로 볼까요? u,v도 모두 0이면 일정한 높이여서 엄격한 봉우리가 없어요. 나머지는 사인 성분 하나이므로 봉우리 하나예요. v가 양수면 앞창, 음수면 뒤창에 놓여요. v=0에서는 u가 양수면 0, 음수면 π가 봉우리예요. C는 그래프를 위아래로 옮길 뿐 어느 개수도 바꾸지 않아요.
교사는 먼저 두 봉우리의 총수를 묻고, 다음에 어느 창에 속하는지 표시하게 해요. 같은 크기의 cos t와 sin t를 비교하면 계산값보다 관측 시작 시각의 역할이 드러나요. 실제 항구에서는 더 많은 성분과 지형·관측 자료가 필요하므로, 이 표로 실제 높은 물때나 항해 시각을 예측하지 않아요.
착안: National Oceanography Centre, Tides Explained의 물때 횟수 설명 두 절과 NOC Innovations, What are harmonic constituents?의 성분 설명 본문을 읽었어요. 여러 주기 성분을 더한다는 배경에서 자체 물높이식·시간창·반례·전체 분류를 구성했으며, 원문의 지역 관측값·사진·예보 방법을 옮기지 않았어요.