수거 시각은 6초 차이인데, 편지 도착은 거의 10분 차이일 수 있을까요? A 우체통은 0분, 10분, 20분에 수거하고, B 우체통은 0.1분, 10.1분, 20.1분에 수거하는 자체 예를 볼까요? 수거 뒤 처리 시간은 같다고 정해요.
0.05분, 즉 3초에 같은 편지를 넣으면 A의 0분 수거는 이미 지났어요. A의 다음 수거는 10분, B의 다음 수거는 0.1분이에요. B가 9.9분 먼저 도착해요. 두 시간표를 조금 옮겼다고 모든 편지의 결과도 조금만 달라지는 것은 아니에요.
이 글은 정확한 반복 시간표를 정한 교육용 비교예요. 실제 우체통의 수거 시각이나 배송 성능을 보고한 자료가 아니에요. 투입과 수거가 정확히 같은 시각이면 그 수거에 포함해요. 수거 뒤에는 각 방식의 고정 처리 시간만 더하고, 휴일·이동 지연·접수 마감은 넣지 않아요.
먼저 같은 10분 간격의 한 주기를 시간 길이에 따라 비교해 봐요. 두 방식의 처리 시간이 같을 때 도착 차이는 ‘B 도착 시각−A 도착 시각’입니다. 음수이면 B가 먼저예요.
| 0분 이상 10분 미만의 투입 시각 | 도착 차이 | 한 주기에서 차지하는 시간 비중 |
|---|---|---|
| 0분 초과 0.1분 이하 | −9.9분 | 1/100 |
| 그 밖의 시각 | +0.1분 | 99/100 |
대부분의 시각에서는 B가 조금 늦고, 짧은 구간에서는 B가 크게 빨라요. 가중 평균은 0입니다. 각 우체통의 평균 대기 시간도 똑같이 5분이에요. 그런데 두 수거 시각을 정확히 맞추면, 모든 투입 시각의 도착 차이가 0이 돼요. 평균은 그대로인데 최악의 차이는 달라져요.
다른 간격과 처리 시간도 한꺼번에 비교할 수 있을까요? 같은 시간 단위에서 양의 정수 간격 p,q를 정해요. A는 정수 j에 대해 jp에서, B는 β+jq에서 수거해요. β는 0 이상 q 미만의 실수예요. 이 일정은 앞뒤로 반복되며, 편지는 임의의 실수 시각 t≥0에 투입해요. 처리 시간 a,b는 각각 0 이상의 실수예요.
천장 기호는 그 수 이상인 가장 작은 정수예요. A(t),B(t)는 다음 수거 시각이며, 실제 비교하는 도착은 각각 A(t)+a, B(t)+b입니다. 이번 질문은 주어진 두 일정 중 어느 것을 택하느냐예요. 일정을 새로 최적화하거나 처리 시간의 난수를 추정하지 않아요.
가능한 수거 시각 차이를 h라 해 볼까요? 두 간격의 최대공약수 g와 공통 주기 L을 사용하면, 모든 가능한 h와 각 차이가 지속되는 시간 길이는 다음과 같아요.
h−β가 g의 정수배라는 조건이 시간표의 격자를 반영해요. 기다리는 시간은 A에서 0 이상 p 미만, B에서 0 이상 q 미만이므로 −p<h<q입니다. 하지만 이 두 필요조건만 나열해서 가능한 값이라고 선언하면 안 돼요. 각 값이 실제로 나오는 시간 구간도 만들어 봐요.
조건을 만족하는 h마다 A의 한 수거 시각 s와 B의 수거 시각 s+h를 고를 수 있어요. p/g와 q/g가 서로소이므로 p/g의 정수배를 q/g로 나눈 나머지가 모두 한 번씩 나와요. 따라서 s는 공통 주기 L마다 정확히 한 자리로 정해져요. 이는 알려진 정수 나머지 도구예요.
다음 수거가 각각 s와 s+h가 되려면, 투입 시각은 두 수거 사이의 구간을 동시에 만족해야 해요. 그 교집합과 시간 균등 확률은 다음과 같아요.
왼쪽 끝은 이전 수거에 포함되므로 제외하고, 오른쪽 끝은 다음 수거에 포함하므로 넣어요. 이 구간의 길이가 바로 λₕ이며 양수예요. 창이 주기의 끝을 넘어가면 앞쪽에 이어 붙여 세어요. 이렇게 모든 차이의 창이 한 주기를 빈틈없이 나누므로 길이의 합은 L입니다. L을 최소 주기라고 주장할 필요는 없어요.
확률은 수거 횟수를 균등하게 고른 값이 아니에요. 투입 시각을 한 주기 [0,L)에서 시간에 따라 균등하게 고른 값이에요. 따라서 B가 먼저인 확률은 c+h<0인 창들의 길이를 더해 L로 나누고, 동률은 c+h=0인 창의 길이를 써요. 연속 시각에 투입해도, 도착 차이가 한 구간 내내 같으면 동률의 확률이 양수일 수 있어요.
평균은 더 간단해요. A의 각 수거 사이에서 대기가 p부터 0까지 선형으로 줄어, 한 구간의 적분은 p²/2이고 시간 평균은 p/2입니다. B는 위상을 옮겨도 q/2입니다. 두 대기의 독립을 가정하지 않고 평균의 차만 빼면 위 식의 평균 도착 차이를 얻어요. 이 평균만으로 각 차이의 창이나 전 시각 우세를 복원할 수는 없어요.
β를 g로 나눈 나머지 r를 0≤r<g로 잡을게요. 가능한 차이는 간격 g로 나열된다. 다음 끝값은 모두 실제 창에서 나타나요.
| 위상 나머지 | 가장 작은 h | 가장 큰 h | 서로 다른 h의 수 |
|---|---|---|---|
| r=0 | g−p | q−g | p/g+q/g−1 |
| 0<r<g | r−p | r+q−g | p/g+q/g |
이제 평균이 아니라 모든 투입 시각을 보장하려면 끝값을 확인해요.
모든 시각에서 엄격히 먼저이려면 각각의 부등식을 <0 또는 >0으로 바꿔요. 위 부등식에서 왼쪽 값이 0이면, 동률인 창의 길이가 양수예요. 음수 결과와 양수 결과가 모두 존재할 조건은 c+h최소<0<c+h최대예요. 모든 시각에서 두 도착이 똑같을 조건은 p=q, β=0, a=b입니다. 처리 시간이 둘 다 0이어도 이 분류는 그대로예요.
간격이 다르면 더 자주 수거하는 쪽이 항상 먼저라고 말하기도 어려워요. p=4,q=6,β=0,a=3,b=0의 자체 예는 공통 주기가 12입니다.
| B 도착−A 도착 | 그 차이의 시간 길이 | 시간 비중 |
|---|---|---|
| −5 | 2 | 1/6 |
| −3 | 4 | 1/3 |
| −1 | 4 | 1/3 |
| +1 | 2 | 1/6 |
A가 더 자주 수거하지만 처리 시간이 3만큼 더 든다. B는 5/6의 시간에서 먼저이고 평균도 2만큼 빠르지만, 모든 시각에서 빠르지는 않아요. 5에 넣으면 A 도착은 11, B는 6입니다. 7에 넣으면 A는 11, B는 12입니다.
첫 질문으로 돌아가 볼까요? 같은 정수 간격 T와 같은 처리 시간에서 0<β<T이면 차이는 두 값뿐이에요.
β를 0에 가깝게 줄이면 큰 차이를 겪는 시간 비중 β/T는 0으로 가요. 그러나 그 차이의 크기 T−β는 T에 가까워져요. β=0에서는 모든 차이가 0입니다. ‘대부분의 시각에는 작다’와 ‘어느 시각에도 작다’가 이 정렬 경계에서 갈라져요.
먼저 3초에 넣은 편지의 다음 수거를 표시해 봐요. 이어 평균, 한 주기의 시간 비중, 모든 투입 시각의 보장을 다른 질문으로 적어 봐요. 같은 평균과 같은 간격이 전체 비교 결과를 정해 주는지, 동률이 한 순간인지 구간인지도 확인해요. 제공 교재의 함수·치역(함수가 실제로 내놓는 값의 범위)과 구간 분할 정적분은 표현과 계산의 도구예요. 다음 수거의 격자 분류와 위상 경계는 여기서 정의하고 증명한 확장이에요.
착안: Ofcom, Royal Mail postbox collection times, 2024년 6월 14일 응답. 투입·수거·수령이 서로 다른 사건이며 표시된 시각과 실제 수거 시각이 다를 수 있다는 배경만 참고했어요. 정확한 두 반복 일정·처리 시간·표와 전범위 계산은 자체 교육용이며 원문의 실측 자료·사진·현재 우편 이용 안내를 옮기지 않았어요.