12칸 초콜릿을 나누려면 꼭 11번이어야 할까요? 학생은 “한 번 나누면 조각이 하나 늘어나니 11번”이라고 설명했어요. 3행 4열 판을 칸 사이의 곧은 선으로만 나누되, 조각을 버리거나 다시 붙이지 않아요. 여기서 조각은 아직 여러 칸이 붙어 있는 판도 포함해요.
규칙 A는 한 번에 한 조각만 둘로 나눠요. 규칙 B는 여러 조각을 포개어 같은 선에서 한꺼번에 나눠도 돼요. A의 설명을 B에도 그대로 써도 될까요? B에서는 네 동작을 직접 설명해 볼까요?
먼저 3×4 판을 3×2 두 조각으로 나눠요. 두 조각을 포개어 나누면 3×1 네 조각이에요. 이를 포개어 첫 행을 떼면 1×1 네 조각과 2×1 네 조각이 돼요. 남은 2×1 네 조각만 포개어 나누면 모두 12칸이 떨어져요. 조각 수는 1→2→4→8→12로 변해요.
B도 한 동작에서 각 조각을 둘보다 많이 나누지는 못해요. 따라서 세 동작 뒤에는 많아야 8조각이라 네 동작이 최소예요. A에서는 한 동작마다 정확히 하나 늘어나므로 11번이 맞아요.
조각 수를 식으로 세면 두 규칙의 차이가 드러나요. A에서 j번 나눈 뒤의 조각 수를 라 쓸게요. 처음은 한 조각이고, 나눌 때마다 하나씩 늘어나요.
B에서는 현재 조각 중 조각을 골라 각각 둘로 나눠요. 나누지 않은 조각은 그대로 남으므로, 다음 조각 수 는 다음 식을 따라요.
k는 P보다 클 수 없어요. 따라서 세 동작으로 얻는 수는 많아야 1×2×2×2=8로, 12에 못 미쳐요. 앞의 구성은 네 동작으로 1→2→4→8→12를 실제 달성해요. 마지막에는 8조각 전부가 아니라 2×1인 네 조각만 나누므로 8+4=12입니다. 세 동작의 불가능성과 네 동작의 구성을 함께 확인해야 최소가 네 번이라는 결론을 얻어요.
교사는 두 답을 맞혔는지와 함께, 학생이 “한 번”의 허용 범위를 설명했는지 확인해요. 특히 2→4가 되는 동작을 짚게 하면 11번이라는 설명에서 빠진 전제가 드러나요.
출처·착안: UGA 수학부·수학클럽의 교사용 문제 9·10. 원전의 3×4 두 규칙을 비교하며, 조각별 기록과 교사 질문을 덧붙였다.