네 종류의 스티커가 든 가상 봉지를 한 장씩 열어요. 매번 각 종류가 나올 확률은 1/4이고 봉지들은 독립이에요. 종류마다 공급은 충분하며, 이미 가진 종류가 나오면 버리지 않고 중복으로 기록해요. 네 종류를 처음 모두 얻을 때까지 연 봉지 수 T의 평균을 물어요.
처음에는 아무 종류나 새것이므로 한 장이면 첫 종류를 얻어요. 한 종류를 가진 뒤에는 새 종류 확률이 3/4, 두 종류를 가진 뒤에는 1/2, 세 종류를 가진 뒤에는 1/4입니다. 같은 성공 확률 p로 독립 추첨을 반복해 첫 성공까지 기다리는 평균 횟수는 1/p입니다. 실패 뒤에도 같은 상태에서 다시 시작하므로 평균 e는 e=1+(1−p)e를 만족하기 때문이에요.
각 단계를 끝내는 평균 횟수는 1,4/3,2,4입니다. 이미 열었던 봉지를 두 번 세는 대신, 새로운 종류가 하나 늘어나는 네 단계를 나누어 합칩니다.
평균은 약 8.33장이에요. 이 역수들의 합은 조화합과 연결돼요. 네 장 만에 전부 모으는 가장 빠른 결과도 가능하지만, 마지막 종류를 기다리며 중복이 길게 이어질 수도 있어요. 8.33이라는 평균이 매번 여덟 장이나 아홉 장에 끝난다는 약속은 아니에요. 이 답은 독립·균등이라는 가상 봉지 규칙에서의 평균이에요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a Minute: The Harmonic Series.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.