짧은 음악이 끝날 때마다 장치가 다시 시작하거나 멈춘다면, 평균 재생 시간은 어떻게 계산할까요? 가상 음악 장치는 한 구절을 6초 동안 연주해요. 매번 구절이 끝나면 서로 독립적으로 확률 로 같은 구절을 처음부터 다시 연주하고, 확률 로 정지해요. 결정에 걸리는 시간은 없으며 첫 구절은 반드시 연주해요. 최대 반복 횟수는 따로 두지 않아요.
처음부터 정지할 때까지 걸리는 시간의 평균을 초 단위 로 적어요. 첫 6초는 확실히 걸려요. 이후 반복을 선택하면 출발할 때와 같은 장치 상태로 돌아오므로, 추가 시간의 평균도 입니다.
평균은 9초예요. 실제 한 번의 결과는 6초, 12초, 18초처럼 6의 배수이므로 9초에 멈추는 실행은 없어요. 평균이 가능한 개별 기록 중 하나여야 한다고 생각하면 이 결과를 잘못 읽게 돼요.
한 번만 반복할 수 있는 다른 장치라면 평균은 초예요. 하지만 지금 장치는 두 번째 구절 뒤에도 다시 반복을 선택할 수 있어 그 계산으로 끝낼 수 없어요. 회 이상 연주할 확률은 이어서 멈추지 않을 확률은 0이고, 이 비율의 합도 유한해요.
사진 속 기기는 이 확률 규칙의 실제 구현이 아니에요. 소리 순서를 화살표와 반복 상태로 그려 보는 활동이며, 반복 가능한 상태의 평균을 식 양쪽에 같은 기호로 놓는 이유를 보여줘요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · The Graph Composer.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.