다섯 단자를 한 평면 위에 놓고, 서로 다른 모든 두 단자를 전용 선으로 직접 잇는 가상 도안을 생각해 볼까요? 선은 휘어도 되지만 중간 접속점을 추가하거나 다른 층으로 지나갈 수는 없어요. 같은 단자에서 만나는 경우 외에는 선끼리 만나지 않게 그릴 수 있을까요?
단자 수를 V, 연결선 수를 E라고 하겠습니다. 각 단자는 다른 네 단자와 이어지고, 같은 선을 양쪽에서 두 번 세므로 필요한 선은 E=5×4/2=10개예요. 이 도안은 고리선이나 중복선이 없는 단순 그래프예요.
연결된 단순 평면 그래프에서 V≥3이면 바깥 영역을 포함한 영역 수 F에 대해 V−E+F=2입니다. 이 도안의 각 영역은 적어도 세 선으로 둘러싸이고, 한 선은 양쪽 영역에서 세므로3F≤2E입니다. 두 관계를 합하면 다음 상한을 얻어요.
필요한10개가 허용 상한9개보다 많으므로, 이런 평면 도안은 불가능해요. 단자 위치를 다시 잡거나 선을 곡선으로 바꾸는 것만으로 해결되지 않아요. 그림을 잘못 그려서 교차가 생긴 문제가 아니라 연결 요구 자체의 제약이에요.
조건을 바꾸어 다른 층을 허용하거나 일부 직접 연결을 없애는 일은 별도의 설계예요. 여기서 내린 결론은 모든 쌍을 직접 잇는 한 평면의 수학 모형에 한정됩니다.
참고한 수학 개념: Mathigon · Planar Graphs.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.