원형 장식판의 다섯 구역을 A,B,C,D,E라고 부르겠습니다. A와B, B와C, C와D, D와E, E와A만 서로 이웃하고, 이웃한 구역은 다른 색이어야 해요. 다른 구역쌍은 닿지 않는 가상 도안이에요. 삼각형처럼 세 구역이 모두 이웃하는 곳이 없으니 두 색으로도 충분할까요?
A를 빨강으로 칠하면 B는 파랑이어야 해요. 두 색만 쓰므로 C는 빨강, D는 파랑, E는 빨강이 돼요. 이제 끝에 있는 E와 처음 A가 이웃한다는 조건에서 막힙니다. 둘이 같은 빨강이라서 허용되지 않아요.
색을 숫자0과1로 표시하면, 한 이웃을 건널 때마다 색이 바뀌어요. 시작 색을 c라 두었을 때 다섯 번 바뀐 결과는 원래 색과 달라요.
세 색을 허용하면 A빨강, B파랑, C빨강, D파랑, E노랑으로 칠할 수 있어요. 실제로 다섯 이웃쌍이 모두 다른 색이에요. 두 색의 불가능과 세 색의 가능한 배치를 함께 보였으므로 필요한 최소 색 수는3입니다.
세 구역이 모두 맞닿는 삼각형이 없다는 조건만으로 두 색을 보장할 수는 없어요. 이 예에서는 다섯 구역으로 이어진 홀수 길이의 고리가 장애물이에요. 일렬의 배색을 원형 장식에 옮길 때에는 마지막과 처음의 이웃 관계도 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Map Colouring.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.