그림 파일의 밝기를 숫자 하나로만 기록하는 가상 검색 도구를 만들었다고 해 볼까요? A의 밝기는0, B는2, C는4이고 단위는 이 도구가 정한 임의 눈금이에요. 두 파일의 차이 점수를 D(u,v)=(u−v)²로 정했어요. 점수가 낮을수록 밝기가 가깝지만, 이 점수를 거리라고 부를 수 있을까요?
수학적 거리는 음수가 아니고 순서를 바꾸어도 같아야 해요. 같은 대상에서는0이고 서로 다르면 양수여야 하며, 중간 대상을 거쳐 간 거리의 합이 직접 거리보다 작아지지 않는 삼각부등식도 필요해요. 제곱 차이는 앞의 성질들은 만족해요.
그러나 세 밝기를 넣으면 다음과 같아요.
직접 점수16이 두 중간 점수 합8보다 커요. 따라서 제곱 차이는 이 눈금에서 삼각부등식을 만족하지 않아요. B를 거쳐 점수를 나눠 셌다는 이유로 A와C가 더 비슷한 파일로 바뀐 것은 아니에요. 제곱이라는 계산 규칙이 합산 방식에 영향을 준 거예요.
제곱근을 취한 |u−v|라면 이 예의 직접 값4와 중간 합2+2가 같아요. 밝기 차이 순위를 정하는 데 제곱 점수를 쓰는 일은 가능하지만, 거리의 성질을 전제하는 절차에 그대로 넣으려면 별도 검사가 필요해요. 실제 색의 인지나 RGB 전체를 측정한 모형은 아니에요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Dimensions and Distortions.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.