관 안에서 소리가 앞뒤로 반사될 때 ‘작아진다’는 말만으로 변화를 모두 설명할 수 있을까요? 가상 관의 길이는 0.34m, 소리 속력은 일정한 340m/s입니다. 왼쪽 끝에서 오른쪽을 향해 출발한 짧은 파동의 압력 진폭을 1로 정해요. 오른쪽 반사에서는 진폭에 , 왼쪽 반사에서는 를 곱한다고 가정해요. 이 값들은 정한 모형의 계수이며 실제 관이나 사람 목소리의 측정 자료가 아니에요.
한 왕복은 오른쪽까지 갔다가 왼쪽으로 돌아와 그곳에서 반사되는 것까지예요. 두 반사를 모두 거치므로 왕복마다 진폭에는 가 곱해집니다. 첫 왕복 직후는 , 두 번째는 , 세 번째는 입니다.
음수는 ‘음량이 음수’라는 뜻이 아니에요. 압력 변화의 방향이 기준 파동과 반대라는 뜻이며 크기는 절댓값으로 읽어요. 왕복 횟수가 홀수일 때 부호는 음수, 짝수일 때 양수예요. 부호를 버리고 0.4만 곱하면 크기는 맞아도 이 정보가 사라져요.
한 왕복 시간은 초, 즉 2ms입니다. 세 왕복 직후의 값은 출발 후 6ms에 얻어요. 반사는 총 여섯 번이지만 왕복 계수를 적용하는 횟수는 세 번이에요.
관의 반사는 모양과 경계 조건에 따라 달라져요. 여기서는 파동의 겹침이나 주파수별 차이를 제외하고 하나의 짧은 파동을 추적했어요. 크기 감소, 부호 반전, 이동 시간을 따로 적으면 ‘세 번 반사됐다’와 ‘세 번 왕복했다’를 같은 말로 쓰는 오류를 피할 수 있어요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Pink Trombone.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.