두 녹음에서 섞인 소리들을 수학적으로 분리하는 가상 모형이에요. 한 순간의 두 원래 신호값을 u,v라 하고, 녹음값은 L=u+v, R=u+1.01v라고 정해요. 값은 같은 기준으로 정규화한 부호 있는 진폭 숫자이며 단위는 없어요. 실제 전시 음원이나 녹음 장치의 계수를 측정한 자료는 아니에요.
두 녹음의 차이를 내면 u가 사라져요. 남는 v의 계수가0.01이므로 복원하려면 차이에100을 곱해야 해요.
실제로 u=1,v=2라면 L=3,R=3.02입니다. 오차가 없는 두 기록으로는 v=100×0.02=2와 u=3−2=1을 유일하게 되찾습니다. 그러나 유일한 답이 있다는 것만으로 입력 오차에 강한 계산이라는 뜻은 아니에요.
이번에는 L을3.001, R을3.019로 기록했다고 해 볼까요? 각 녹음의 오차는 겨우+0.001,−0.001입니다. 그런데 복원값은 v=100×0.018=1.8, u=3.001−1.8=1.201입니다. v의 오차 크기는0.2로 각 녹음 오차보다200배 커요.
두 기록의 오차를 각각 eL,eR이라 하면 v의 오차는100(eR−eL)입니다. 각 오차 크기가0.001 이하일 때 다음 한도를 얻어요.
앞의 반대 부호 오차가 이 한도를 실제로 만들어요. 혼합 계수가 아예 같아 R=u+v라면 두 기록이 같은 식이 되어 분리할 수도 없어요. 여기서는 계수가 달라 분리는 가능하지만 매우 비슷해서 차이를 크게 확대해요. 복원 가능 여부와 작은 기록 오차가 결과에 미치는 크기를 함께 살펴야 해요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Data Sonification.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.