얇은 실 고리를 두 핀과 연필에 걸어 팽팽하게 당기며 타원을 그리는 가상 공예 모형이에요. 핀 두 개의 거리는6cm이고 고리의 전체 길이는16cm입니다. 핀과 연필의 두께는 없고 실은 늘어나지 않으며, 실이 세 점을 삼각형처럼 감싼다고 정해요.
핀을 F₁,F₂, 연필 위치를 P라 하겠습니다. 고리의 길이는 F₁P, PF₂와 핀 사이의 고정 구간 F₁F₂를 더한 값이에요. 그러므로 움직이는 두 거리의 합은16cm가 아니라16−6=10cm입니다.
타원에서는 이 합이 장반경 a의 두 배예요. 따라서 a=5cm이고 장축 길이는10cm입니다. 타원 중심에서 각 핀까지의 거리 c는3cm입니다. 단반경 b는 중심 바로 위의 점에서 두 거리가5cm씩 되는 직각삼각형으로 구할 수 있어요.
따라서 b=4cm이고 단축은8cm입니다. 고리 전체16cm를 그대로 장축 길이라고 읽으면 a=8이라는 다른 타원이 되어, 실제 고리의 고정 구간을 중복 사용할 셈이 돼요.
실의 양끝을 각각 핀에 매고 연필로 중간을 당기는 열린 실 방식이라면 고정 구간이 별도로 포함되지 않아요. 같은 실 길이라는 표현도 어디를 감싸고 있는지에 따라 식이 달라져요. 여기서는 닫힌 고리의 세 구간을 먼저 나눈 것이 계산의 핵심이에요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Conic Sections.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.