끈으로 나뭇가지 모양 장식을 만드는 가상 도안이에요. 첫 줄기는150cm입니다. 각 끝에서 두 가지가 갈라지고, 새 가지 하나의 길이는 바로 앞 가지의3분의1입니다. 길이1cm 이상인 가지까지만 만들고, 가지가 서로 겹치지 않는다고 정해요.
처음 줄기를0세대라 하면 k세대 가지는2ᵏ개이고 하나의 길이는150/3ᵏcm입니다. 개수만 보면 두 배씩 늘지만, 그 세대의 전체 길이는150(2/3)ᵏcm로 줄어들어요. 필요한 끈은 세대별 전체 길이를 더해야 해요.
4세대 가지는150/81≈1.85cm이고5세대는150/243≈0.62cm입니다. 따라서0세대부터4세대까지 사용해요. 가지 수는1+2+4+8+16=31개예요. 접합 여유 없이 필요한 끈의 합은 다음과 같아요.
만약 더 짧은 가지도 끝없이 만든다는 수학적 이상화를 하면, 합은450cm에 가까워져요. 가지 개수는 제한 없이 늘어나지만 총길이는4.5m라는 한계 안에 있어요. 두 배의 갈래와3분의1 길이가 합쳐져 세대별 길이는2/3배가 되기 때문이에요.
실제 제작은 최소 길이에서 멈추며, 두께와 접합 재료도 별도로 필요해요. 자연의 가지가 정확히 이 규칙을 따른다고 주장하는 계산은 아니에요. 복잡한 장식의 재료량을 셀 때에는 개수와 한 조각의 크기를 함께 추적해야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Fractals: Introduction.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.