무늬가 서로 다른 카드 일곱 장으로 선물 묶음을 만드는 가상 계획이에요. 같은 카드를 두 번 넣지 않고, 묶음 안의 순서는 구별하지 않아요. 묶음에 넣는 장수를 k라 할 때, 어느 k에서 가장 다양한 묶음을 만들 수 있을까요? 많이 넣을수록 선택지가 많을 것 같지만 전부 넣으면 묶음은 하나뿐이에요.
일곱 장 중 k장을 고르는 개수를 C(7,k)라 쓰겠습니다. 파스칼 삼각형의 일곱째 줄, 꼭대기를0번째 줄로 셌을 때의 수들이 이 개수입니다.0장부터7장까지 차례로1,7,21,35,35,21,7,1입니다. 고른 카드와 남긴 카드를 서로 바꾸면 k장 묶음과7−k장 묶음이 짝지어져 좌우 값이 같아요.
최대값은 목록만 읽지 않고 비로도 확인할 수 있습니다.0≤k≤6이면 다음과 같아요.
k=0,1,2에서는 이 비가1보다 커서 개수가 증가해요. k=3에서는4/4=1이므로3장과4장의 개수가 같아요. k=4,5,6에서는1보다 작아 감소해요. 따라서 가장 많은 선택지는3장 또는4장 묶음이며 각각35가지예요.
일반적으로 n장이라면 같은 비가(n−k)/(k+1)입니다. n이 홀수이면 가운데 두 장수에서 최대가 같고, n이 짝수이면 정확히 절반을 고르는 한 장수에서 최대가 돼요. 카드가 서로 구별되고 중복 선택과 순서를 세지 않는다는 조건 아래의 결과예요. 묶음의 수량과 가능한 묶음의 다양성은 별도로 판단해야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Pascal’s Triangle.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.