아주 큰 가상 재고에서 한 번 뽑을 때 불량일 확률은 0.1이고, 검사 결과는 정확하다고 해 볼까요? 검사를 반복할 때 결과는 독립이며 매번 같은 확률이에요. 실제 업체의 불량률을 추정하는 문제가 아니라, 불량률을 먼저 주고 필요한 시험 횟수를 설계하는 문제예요.
n번 검사해서 불량이 하나도 없을 확률은 (1−0.1)^n=0.9^n입니다. 불량 수는 이항분포를 따릅니다. 적어도 하나를 발견할 확률이 95% 이상이어야 하므로, 여사건으로 바꾸면 다음 조건이에요. n은 양의 정수예요.
로그로 풀면 n≥ln(0.05)/ln(0.9)≈28.433입니다. ln(0.9)가 음수이므로 부등호 방향에 주의해요. 따라서 가장 작은 후보는 29번이에요.
28번에서 0.9^28≈0.052335라 발견 확률은 약 94.77%로 부족해요. 29번에서는 0.9^29≈0.047101라 약 95.29%로 기준을 넘어요. 95% 이상이라는 답은 어떤 한 번의 29회 검사에서 반드시 발견한다는 보장이 아니에요. 작은 재고의 비복원 검사처럼 독립 확률이 달라지는 상황에서는 이 식을 그대로 쓰지 않고 추출 규칙부터 다시 정해야 해요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: The binomial distribution.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.