오각별 하나는72도 돌려도 같은 모양이에요. 이 대칭을 벽지 전체에도 그대로 유지할 수 있을까요? 가상 벽지의 모든 반복 이동은 서로 독립인 두 벡터 의 정수배 합으로 이루어진 격자를 정확히 이룬다고 하겠습니다. 한 무늬만 돌리는 것이 아니라 벽지 전체를 돌렸을 때 모든 반복 이동도 같은 격자로 남아야 해요. 준결정처럼 두 방향의 주기 격자가 없는 패턴은 이번 조건에서 제외해요.
격자를 보존하는 회전은 를 각각 원래 두 벡터의 정수배 합으로 보내요. 그래서 이 두 벡터를 좌표 기준으로 쓴2×2변환 행렬의 네 성분은 정수이고, 대각 성분 합도 정수예요. 이 합을 행렬의 trace라고 불러요.
각도 만큼의 평면 회전은 기준을 바꾸어도 trace가 같으며 그 값은 입니다. 72도에서는 다음과 같아요.
이 값은 정수가 아니므로72도 회전은 정한 격자를 보존할 수 없어요. 따라서 별 하나의 다섯 방향 대칭과 두 방향으로 반복되는 벽지 전체의 다섯 방향 회전 대칭을 동시에 가질 수 없어요.
가능한 정수 trace는 −2부터2 사이의 다섯 값뿐이에요. 이들은 회전각180도,120도,90도,60도,0도에 대응하여 회전 차수2·3·4·6·1을 줘요. 이는 허용 차수의 필요조건을 찾은 것이며, 임의의 한 벽지가 그 대칭을 모두 가진다고 말하는 것은 아니에요. 장식 사물의 모양과 무한히 반복되는 배치의 대칭 조건을 분리해 읽어야 해요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Morenaments.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.