원형 표시판의 위치를0 이상1 미만인 수 x로 나타내고,1을 한 바퀴로 정하겠습니다. 매 단계 위치를 두 배로 바꾸되 한 바퀴 이상은 빼는 가상 모형이에요. 규칙은 T(x)=2x−⌊2x⌋이고,⌊u⌋는 u를 넘지 않는 가장 큰 정수예요. 실제 장치의 운동을 측정한 식은 아니에요.
먼저 시작 위치를 x₀=k/256, k=0,1,…,255로만 정해요. 계산은 정확하게 하고 매 단계 따로 반올림하지 않아요. 두 배로 만드는 한 단계 뒤에도 같은 격자 위에 남아요. 반복 n번 뒤 위치는2ⁿx₀에서 정수 부분을 뺀 값이에요.
frac는 소수 부분을 뜻합니다.256=2⁸이므로 여덟 번 뒤에는 frac(k)=0입니다. 따라서 어느 시작 칸을 골라도 여덟 단계 안에0에 도착합니다.0은 이후에도 계속0으로 남아요. 이는 시작값 전체를 대상으로 한 계산이며 몇 가지를 시험한 추측이 아니에요.
그러면 같은 규칙의 모든 정확한 시작값도0에 모일까요? x₀=1/3은 그 격자에 속하지 않아요. 실제로 다음 두 계산이 반복돼요.
이 궤도는 두 위치를 오갈 뿐0에 도착하지 않아요. 규칙은 같지만 허용한 초기값 집합에 따라 장기 결과가 달라져요. 격자로 표현한 경우가 모두 멈춘다는 사실로, 표현 범위 밖의 정확한 값도 멈춘다고 결론 낼 수 없어요. 반복 모형을 화면으로 살펴볼 때에는 식뿐 아니라 어떤 시작값까지 표현했는지 함께 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Chaos Theory: Introduction.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.