무작위로 움직인 입자의 평균 위치가 출발점이라면, 거의 움직이지 않았다는 뜻일까요? 가상 일차원 입자는 원점에서 시작해 네 번 움직이에요. 매번 독립적으로 확률1/2로 오른쪽1mm 또는 왼쪽1mm를 가요. 경계나 반사는 없고, 최종 변위를 mm 단위 로 적어요. 연속 시간의 실제 브라운 운동을 그대로 구현한 것은 아니라 작은 이산 모형이에요.
네 이동의 경우는16개예요. 최종 변위 −4,−2,0,2,4가 나오는 수는 각각1,4,6,4,1입니다. 양수와 음수 기록이 대칭이므로 입니다. 그러나 크기를 먼저 읽으면 부호가 상쇄되지 않아요.
변위를 제곱한 뒤 평균을 내면 단위는 mm²입니다. 그 제곱근을 ‘제곱평균의 제곱근’, 즉 RMS 변위로 정의해요.
평균 변위0, 평균 절댓값1.5mm, RMS2mm는 모두 맞지만 다른 질문에 답해요. 큰 변위에 제곱이 더 큰 비중을 주기 때문에 마지막 두 값도 같지 않아요. 또한 각 실행에서 실제로 움직인 총거리는4mm로 고정되어 최종 변위의 크기와도 달라요.
무작위 흔들림을 설명할 때 어느 평균을 쓰는지 밝히지 않으면 움직임이 없는 것처럼 오해할 수 있어요. 최종 위치의 부호를 유지하는 계산, 크기를 먼저 취하는 계산, 큰 흔들림을 강조하는 계산을 같은16개 기록에서 직접 비교할 수 있어요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Colorful Brownian Motion.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.