모든 지점이 두 이웃과 연결되면 전체 연결망도 하나로 이어질까요? 가상 연결망의 지점은 A부터 F까지 여섯 개이며 선은 양방향이에요. 같은 두 지점 사이 선은 하나까지, 자기 자신으로 돌아오는 선은 없어요. 첫 연결망은 A-B-C-D-E-F-A의 한 고리예요. 둘째는 A-B-C-A와 D-E-F-D의 서로 떨어진 두 삼각 고리예요. 그림에서 선이 교차하더라도 새 지점으로 세지는 않아요.
두 연결망 모두 각 지점에 두 선이 닿아요. 지점별 닿은 선 수를 차수라고 하며, 차수 목록은 둘 다 입니다. 차수를 전부 더하면 선 하나가 양 끝에서 두 번 세어지므로 선 수도 같아요.
하지만 첫 연결망에서는 A에서 선을 따라 F까지 갈 수 있고, 모든 지점이 한 묶음이에요. 둘째에서는 A에서 갈 수 있는 지점이 A·B·C뿐이고 D·E·F로 갈 선은 없어요. 연결된 묶음 수는 각각1과2입니다.
지점 이름을 바꾸거나 종이 위 위치를 옮겨도 이 묶음 수는 변하지 않아요. 따라서 두 연결망을 단순한 이름 바꾸기로 같은 구조로 만들 수 없어요. 차수 목록과 선 수가 같다는 조건은 같은 구조의 필요조건 일부일 뿐 충분조건은 아니에요.
이 활동은 현실의 통신 장치 성능을 계산하는 모형이 아니라 연결 구조를 읽는 작은 그래프예요. 지역별 이웃 수만으로 전체 접근 가능성을 보장하지 말고, 한 지점에서 실제로 도달할 수 있는 집합을 확인해야 해요. 구조를 분류할 때 서로 다른 불변량을 추가하는 이유가 여기에 있어요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Classified graphs.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.