소수 목록을 늘리는 가상 점검표에2,3,5,7,11,13이 적혀 있어요. 이들을 곱한 뒤1을 더하면 목록의 어느 소수로도 나누어지지 않아요. 그렇다면 나온 수를 바로 다음 소수라고 표시해도 될까요?
각 소수 p는 원래 곱을 나누므로, 곱에1을 더한 수를 p로 나누면 나머지는1입니다. 그러나 확인한 약수는 목록의 여섯 개뿐이에요. 그 밖의 소수가 약수일 가능성까지 없어진 것은 아니에요.
이 값을 직접 곱셈으로 확인하면 다른 인수가 나와요.
59와509는 모두1보다 크고30031보다 작아요. 따라서30031은 합성수입니다.59는√59보다 작거나 같은 소수2,3,5,7 가운데 어느 것으로도 나누어지지 않아 소수예요. 목록에는59가 없었으므로 실제로 새로운 소인수를 찾은 셈이에요. 여기서는509의 소수성까지 따로 확인할 필요가 없어요.
일반적으로 유한 소수 목록의 곱에1을 더한 정수는1보다 커요. 그 수가 소수이면 목록 밖의 새 소수이고, 합성수이면 그 소인수 가운데 목록 밖의 새 소수가 있어요. 어느 경우든 새 소수의 존재는 보장되지만, 만든 수 자체가 소수라는 보장은 아니에요. ‘기존 약수로 나누어지지 않는다’와 ‘약수가 전혀 더 없다’를 점검표에서 서로 다른 결론으로 적어야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Prime Numbers.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.