번호표를 분류하는 가상 장치에서는 정수 번호를 2, 4, 8처럼 점점 큰 2의 거듭제곱으로 나눈 나머리가 오래 같을수록 비슷하다고 정해요. 실제 공간의 거리나 번호 숫자의 크기 차이를 재는 장치는 아니에요. 이런 비슷함을 수로 표현하려고, 서로 다른 정수 의 차이를 나누는 가장 큰 2의 거듭제곱이 이면 거리 로 정하겠습니다. 같은 번호의 거리는 0입니다.
번호 1과 9의 차이는 8입니다. 8은 2³으로 나누어지지만 2⁴으로 나누어지지 않으므로 입니다. 두 번호는 8로 나눈 나머지도 둘 다 1입니다.
평균 번호는 입니다. 1과 5의 차이는 4여서 이고, 9와 5의 차이도 4입니다. 따라서 평균은 두 번호 모두에서 거리 입니다. 원래 두 번호 사이 거리의 두 배로 더 멀어요. 5를 8로 나눈 나머리는 5여서 처음 공유한 분류도 사라졌습니다.
보통 숫자 차이로 재면 평균 5는 1과 9의 사이이고 양쪽에서 4만큼 떨어진 가운데예요. 그러나 이번 기준은 중간 위치가 아니라 2진 합동의 깊이를 중시해요. 평균 과정에서 차이 8을 2로 나누면 공유하던 한 단계가 사라져요.
자료의 평균이 비슷함을 유지하는지는 사용하는 거리와 분류 기준에 달려 있어요. 익숙한 ‘중간값’이라는 설명을 새로운 번호 비교 규칙에 그대로 적용하기 전에, 평균을 넣은 뒤 나머리 조건도 유지되는지 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · A Different Sense of Distance.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.