평면의 펜이 P(t)=(cos t,sin2t),0≤t<2π를 따라 움직여요. 원점을 지나는 모든 t를 찾고 그때의 접선 방향을 구해 볼까요? 원점은 하나이므로 접선도 하나라는 주장은 맞나요?
x=0이 되는 시각은π/2와3π/2입니다. 두 시각 모두 y=sin2t=0이라 같은 원점을 지나요. 그러나 지나갈 때의 방향은 같은 점이라는 정보에서 결정되지 않아요.
두 시각의 속도벡터를 대입해요. x방향 속도가0이 아니므로 각각 y방향을 x방향으로 나눈 비가 접선의 기울기예요.
이 곡선을 y가 x의 한 값으로 결정되는 함수 전체로 읽으면 교차하는 두 가지를 놓쳐요. 같은 점에서 각 방문은 매끄럽지만 두 방문의 접선이 달라 그림 전체는 스스로 교차해요.
교사는 원점에서 접선을 그리기 전에 그 점에 해당하는 매개시각이 몇 개인지 묻게 해요. 두 진자의 움직임으로 곡선을 그리는 하모노그래프의 관점에서 착안했어요. 실제 진자의 좌표를 측정한 식이 아니며, 본문은 제시한 이상적 매개곡선의 두 방향만 정확히 계산해요.
착안 원문: Mathematik exhibition. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.