F₁=(−a,0),F₂=(a,0),a>0이다. 자취는PF₁·PF₂=c,c>0으로정한다. 이자취의x축위서로다른점은c에따라몇개인가? 전체곡선의모양을모두분류할필요는없다.
x축에서는두거리가각각|x+a|,|x−a|이므로곱은|x²−a²|이다. 절댓값조건은x²=a²+c와x²=a²−c의두갈래로푼다. 첫갈래는언제나양의오른쪽값이라두실수해를준다.
둘째갈래의오른쪽부호가추가교점수를정한다. 0일때는±0을서로다른두점으로세지않는다.
c=a²에서원점의두초점거리는a,a라실제로곱a²를얻는다. c>a²에서원점이없어진다는말은자취전체가없다는뜻이아니다. 첫갈래의두축점은여전히남는다.
기존축위네점으로타원을단정하는문항과같은거리곱을출발조건으로쓴다. 그판정을다시반복하는대신여기서는매개값이경계를지날때축교점의쌍이합쳐지고사라지는분류를주질문으로삼았다. 곡선전체의연결성분수까지이축계산으로결론내리지않는다.
착안 원문: La lemniscata. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.