두초점(−a,0),(a,0),a>0에서거리의곱이a²인곡선은다음식을만족한다. 곡선에서 |y|의최댓값과그때의x를구하라.
x축의끝점은±√2a이지만그좌표만으로곡선의최대높이를정할수없다. u=x²,v=y²로놓으면u에대한이차방정식이된다. 어느높이v가가능하려면이식이실수u를가져야한다.
u의판별식이0이상이라는필요조건을정리한다.
상한만얻고끝내지않는다. v=a²/4에서는중근u=3a²/4가0이상이며원래식도만족한다. 따라서y=±a/2와x=±√3a/2의네점에서최대절댓높이를실제로얻는다.
교사는판별식을쓴답에서새변수u가실수인것외에0이상이어야한다는조건을확인한다. 이번경계값은그조건을만족하지만일반문제에서는추가검사가필요하다. 거리곱곡선의축교점만을구하는글과달리축밖의실제최고점을찾는문항이다. 식의모양으로타원이라부르거나높이를초점거리로바로읽지않는다.
착안 원문: La lemniscata. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.