0<a<1인 각 a에 대해 직선 L_a를 만든다. 서로 다른 a,b의 두 직선은 어디에서 만나는가? b가 a에 가까워질 때의 교점과 유한 두 가닥의 교점을 구별하라.
분모를 곱해 정리한 식은 (1−a)x+ay=a(1−a)이다. b의 식을 빼면 x−y=a+b−1을 얻고, 원래 식에 다시 넣으면 교점이 정해진다.
두 매개값이 다르다는 조건이 먼저 필요하다. 같으면 두 직선이 겹쳐 교점 하나를 정할 수 없다.
유한 교점에서 √ab+√((1−a)(1−b))≤1이다. 길이1인 벡터 (√a,√(1−a))와 (√b,√(1−b))의 내적이며, 등호는 두 벡터가 같을 때뿐이다. a≠b이므로 지금은 엄격한 부등식이다.
교사는 실을 많이 걸어 곡선처럼 보이는 모형에서 교점이 모두 그 곡선 위에 있다는 답을 확인한다. 여기서 구한 연속 곡선은 가까운 두 실의 교점이 가는 한계다. 두 실의 교점, 한 가닥의 접촉점, 그림의 바깥 윤곽을 같은 점으로 읽지 않게 한다.
착안 원문: String Art. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.