곡선 Q(t)=(t²,(1−t)²),0≤t≤1과 직선 L_a:x/a+y/(1−a)=1,0<a<1을 비교해요. L_a가 Q(a)를 지난다는 계산만으로 접선이라고 말하지 말고, 다른 곡선점들과의 위치도 확인해 볼까요?
대입값이1보다 크면 직선의 한쪽, 작으면 반대쪽이에요. 두 분모는 양수라는 조건을 유지하고 완전제곱으로 정리해요.
한 점에서의 등호뿐 아니라 모든 t에서의 부호와 유일한 등호 조건을 얻어요.
곡선의 변화 방향은 Q′(a)=(2a,−2(1−a))입니다. 직선에 수직인 법선벡터와 내적하면 2−2=0입니다. 방향벡터가0이 아니므로 직선은 그 점의 접선이에요. 곡선의 다른 점에서는 완전제곱이 양수여서 같은 직선 위에 다시 놓이지 않아요.
교사는 곡선 위 점 하나와 직선 위 점 하나가 일치한다는 사실에서 접선 결론으로 건너뛰었는지 확인해요. 이 문항에서는 계산을 통해 접촉 방향과 모든 점이 직선의 한쪽에 놓인다는 조건을 함께 확인해요. 유한 두 실의 교점만 구하는 앞 문항과는 검사 대상이 달라요.
착안 원문: String Art. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.