닫힌 끈을 r(t)=(cos t,sin t,sin2t),0≤t≤2π로 나타내요. 자르거나 서로 통과시키지 않고 평면 원으로 펴는 방법을 확인해 볼까요? 다음 변형 H_s는 공간 전체에 적용하며0≤s≤1이에요.
sin2t=2cos t sin t를 넣으면 높이만 (1−s)배가 돼요. s=0은 처음 끈이고 s=1은 높이0인 원이에요. 그러나 높이를 줄였다는 설명만으로 안전한 변형이라고 끝내지 않아요.
각 단계의 역변형을 직접 적을 수 있어요. 따라서 서로 다른 공간점이 같은 점으로 합쳐질 수 없어요.
끈 자체에서도 cos t,sin t가 같으면 t는 한 바퀴의 시작과 끝을 제외하고 같아요. 변형 중 잘리거나 자기교차가 생기지 않아요. H_s와 그 역은 s에 따라 연속적으로 변한다는 점까지 식에서 확인돼요.
닫힌 뜨개끈 활동의 정의에서 착안했지만 원문의 매듭 사진을 분류한 것은 아니에요. 공간 그림이 복잡하다는 인상 대신, 실제로 되돌릴 수 있는 변형과 충돌 여부를 확인해 봐요. 모든 매듭을 이런 식으로 풀 수 있다는 일반화는 하지 않아요.
착안 원문: French Knitting Knots. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.