반지름r인 원이 반지름2r인 고정 원 안쪽을 미끄러짐 없이 굴러요. 작은 원 중심에서 거리d인 표시점의 위치를 다음 모형으로 줘요. 0≤d≤r이에요. 원주점d=r의 궤적과 안쪽점0≤d<r의 궤적을 비교해 볼까요?
d=r을 넣으면 세로 좌표가0이에요. 가로 좌표는 cos t가−1부터1까지 모두 가지므로 선분 전체를 왕복해요. 무한 직선 전체를 그리는 것은 아니에요.
d<r에서는 두 분모가 모두 양수여서 제곱을 더할 수 있어요.
안쪽점의 궤적은 타원 전체이며 d=0일 때만 원이에요. d가r에 가까워질수록 세로축이 작아지지만, r에 도달하기 전에는 높이가 양수인 점을 실제로 가져요. 마지막 경계에서 타원의 방정식을 그대로 쓰면0으로 나누게 돼요.
원문은 스피로그래프의 펜이 원주 안쪽에 있다는 차이를 명시해요. 원주점의 특수 궤적을 보고 모든 펜 위치에서 직선이라고 결론 내렸는지 확인해 봐요. 위 좌표식은 문항에서 주어진 이상화 모형이며, 실제 기어의 치수나 오차를 측정한 식은 아니에요.
착안 원문: Hipocicloides i epicicloides. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.