원통을 감아 올라가는 나선, 가장 짧은 방향은 하나일까요?

원통의 서로 반대쪽 두 끝점을 잇는 정해진 나선들을 비교해요. 같은 끝점이라도 어느 방향으로 몇 번 감았는지에 따라 경로 길이는 달라요. 길이를 계산해 오른쪽·왼쪽 반 바퀴 경로가 함께 최소가 되는 이유를 확인해요.

반지름1 원기둥에서 A=(1,0,0),B=(−1,0,1)을 잇는 다음 나선들만 비교해요. n은 모든 정수이고0≤t≤1입니다. 길이와 최소가 되는 n을 구해 볼까요? 공간 안쪽을 가로지르는 선분은 허용하지 않아요.

P_n(t)=(\cos((2n+1)\pi t),\sin((2n+1)\pi t),t).

어떤 정수 n도 t=0에서는 A이고 t=1의 각은 홀수배π여서 B입니다. 오른쪽 반 바퀴와 왼쪽 반 바퀴는 끝점이 같지만 경로는 달라요. 더 여러 번 돌아도 끝점은 바뀌지 않아요.

원기둥을 펼치면 가로 변화는(2n+1)π이고 세로는1입니다. 둘 다 t에 비례하므로 펼친 경로는 선분이에요. 피타고라스 정리로 길이를 구해요.

정수 조건을 남기면 두 해가 함께 보여요.

L_n=\sqrt{(2n+1)^2\pi^2+1},\quad n=0,-1:\ L_{\min}=\sqrt{\pi^2+1}.

교사는 각을0부터2π 사이로만 골라 왼쪽 경로를 지운 답을 확인해요. 끝점의 각도와 이동 중 누적 회전각은 달라요. 직선 AB는 원기둥 안을 통과해 이 가족의 후보가 아니에요. 명시한 나선들 사이만 비교하며 모든 표면 경로의 전역 최단성을 따로 증명한 것은 아니에요.

착안 원문: Courbes: dossier pédagogique, Hélices cylindriques, PDF p.7. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.

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